Suponha que, para todo x in[-1,1], a função f satisfaça
e^x^4-x^2 <= f(x) <= 1+x^2-x^4
determine lim x 0 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite de uma função quando se aproxima de 0. A função está “presa” entre duas outras funções: e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Aperto (também conhecido como Teorema do Sandwich), que nos ajuda a encontrar o limite de uma função que está entre duas funções que têm o mesmo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função de baixo, que é limx to 0 e^x^4-x^2 , quando x^4 - x^2 to 0 - 0 = 0 se aproxima de 0.
e^0 = 1
Como está indo para 0, e também vão para 0. Então, o expoente fica:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função de cima, que é limx to 0 (1 + x^2 - x^4) , quando 1 + 0^2 - 0^4 = 1 + 0 - 0 = 1 se aproxima de 0.
Substituindo :

Passo 4

Agora que temos os limites das duas funções que estão “apertando” limx to 0 e^x^4-x^2 = 1 :
limx to 0 (1 + x^2 - x^4) = 1
Pelo Teorema do Aperto, se está entre essas duas funções e ambas tendem para o mesmo limite quando vai para 0, então também vai para esse limite.

Resposta

limx to 0 f(x) = 1

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A prefeitura de Bom Jesus resolveu reservar uma área retangular de 300 m^2 para a construção de um pequeno parque infantil. Entretanto, para que o parque não fique muito estreito e comprido, a prefeitura determinou que uma de suas dimensões deverá ser maior ou igual à um terço da outra, e menor ou igual ao triplo da outra, ou seja,
x3 <= y <= 3 x
em que x e y são as dimensões do parque. Faça o que se pede:
(b) determine os valores mínimo e máximo de x.
Um guia de onda de 1 cm X 2 cm é preenchido com água deionizada, com varepsilonr=81. Se a frequência de operação é de 4,5 GHz, determine:
a) a frequência de corte para o modo TE01.
b) a frequência de corte para o modo TE04.
Calcule os seguintes limites, se existirem, caso algum não exista justifique.
(d) lim x infty 7 x^4-3 x^3+x-45 x^3-2 x^2+3 x-4
Começando com o vetor de Poynting ( wp ) complexo de zona distante de um dipolo hertziano direcionado a x, conforme a equação:
wp=eta beta^2 I^2 ell^216 pi^2 r^2(cos ^2 theta cos ^2 phi+sin ^2 phi) r
e integrando a densidade de potência de superfície média no tempo correspondente através de uma superfície esférica de raio ( r gg lambda ) centralizada no origem da coordenada, calcule a potência irradiada e a resistência de irradiação do dipolo.