Começando com o vetor de Poynting (
) complexo de zona distante de um dipolo hertziano direcionado a
, conforme a equação:
e integrando a densidade de potência de superfície média no tempo correspondente através de uma superfície esférica de raio (
) centralizada no origem da coordenada, calcule a potência irradiada e a resistência de irradiação do dipolo.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o Vetor de Poynting de um dipolo hertziano alinhado no eixo
. A missão aqui é calcular a potência irradiada por esse dipolo e a resistência de irradiação. Para isso, vamos precisar integrar a densidade de potência sobre uma superfície esférica grande o suficiente para estar na zona distante do dipolo (
). Vamos utilizar conceitos de Eletromagnetismo, especificamente relacionados à propagação de ondas eletromagnéticas e ao cálculo de potência através do vetor de Poynting.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Vetor de Poynting. Ele representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética e é dado por:
No nosso caso, o vetor de Poynting complexo fornecido é:
Aqui,
é a impedância do meio,
é o número de onda,
é a corrente no dipolo,
é o comprimento do dipolo,
é a distância da origem,
e
são ângulos esféricos, e
é o vetor unitário radial.
Para encontrar a potência irradiada, precisamos integrar a componente radial de
sobre a superfície esférica.
Passo 3
A potência irradiada média
é dada pela integral do vetor de Poynting sobre a superfície esférica:
Como estamos considerando a média no tempo, podemos usar apenas a parte real do vetor de Poynting complexo. A área diferencial em coordenadas esféricas é:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Vamos simplificar a integral. Primeiro, observamos que
no numerador e no denominador se cancelam:
Agora, vamos resolver a integral dupla. Podemos separar em duas integrais:
Vamos resolver cada parte:
-
Integral sobre
: -
-
Integral sobre
: -
Vamos fazer uma substituição:, então .
A integral fica: -
-
Substituindo esses valores na expressão de
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a resistência de irradiação
. A resistência de irradiação relaciona a potência irradiada com a corrente no dipolo pela fórmula:
Comparando com a expressão que encontramos para
:
Cancelando
de ambos os lados:
Portanto, a resistência de irradiação é:
Resposta
A potência irradiada pelo dipolo é:
E a resistência de irradiação do dipolo é:
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites, se existirem, caso algum não exista justifique.
(d)
(d)
Suponha que, para todo
, a função
satisfaça
determine
.
Um motorista resolveu calibrar os pneus do seu automóvel e um deles apresentava uma pressão manométrica de 13 psi. Resolve então encher de ar até a pressão de 31 psi (manométrica), quando percebe que houve um aumento de
no volume do pneu.
Sabendo-se que a temperatura permaneceu constante nesse processo, de quanto aumentou a quantidade de ar, isto é, (nf-ni)/ni, em porcentagem?
Considere a pressão atmosférica igual a 14,7 psi.
Sabendo-se que a temperatura permaneceu constante nesse processo, de quanto aumentou a quantidade de ar, isto é, (nf-ni)/ni, em porcentagem?
Considere a pressão atmosférica igual a 14,7 psi.
Uma placa quadrada de lado
situada no plano
possui as seguintes condições de contorno:
- para
- para
De posse dessas informações obtenha o potencial eletrostáticona região limitada pela placa e que satisfaça as condições de contorno.