Começando com o vetor de Poynting ( wp ) complexo de zona distante de um dipolo hertziano direcionado a x, conforme a equação:
wp=eta beta^2 I^2 ell^216 pi^2 r^2(cos ^2 theta cos ^2 phi+sin ^2 phi) r
e integrando a densidade de potência de superfície média no tempo correspondente através de uma superfície esférica de raio ( r gg lambda ) centralizada no origem da coordenada, calcule a potência irradiada e a resistência de irradiação do dipolo.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o Vetor de Poynting de um dipolo hertziano alinhado no eixo . A missão aqui é calcular a potência irradiada por esse dipolo e a resistência de irradiação. Para isso, vamos precisar integrar a densidade de potência sobre uma superfície esférica grande o suficiente para estar na zona distante do dipolo ( ). Vamos utilizar conceitos de Eletromagnetismo, especificamente relacionados à propagação de ondas eletromagnéticas e ao cálculo de potência através do vetor de Poynting.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Vetor de Poynting. Ele representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética e é dado por:
S = E times H
No nosso caso, o vetor de Poynting complexo fornecido é:
wp = eta beta^2 I^2 ell^216 pi^2 r^2(cos^2 theta cos^2 phi + sin^2 phi ) r
Aqui, é a impedância do meio, é o número de onda, é a corrente no dipolo, é o comprimento do dipolo, é a distância da origem, e são ângulos esféricos, e é o vetor unitário radial.
Para encontrar a potência irradiada, precisamos integrar a componente radial de sobre a superfície esférica.

Passo 3

A potência irradiada média P = integral lang<= wp rang<= cdot dS é dada pela integral do vetor de Poynting sobre a superfície esférica:
dS = r^2 sin theta , dtheta , dphi , r
Como estamos considerando a média no tempo, podemos usar apenas a parte real do vetor de Poynting complexo. A área diferencial em coordenadas esféricas é:
P = eta beta^2 I^2 ell^216 pi^2 r^2 integral0^2pi integral0^pi (cos^2 theta cos^2 phi + sin^2 phi ) r^2 sin theta , dtheta , dphi
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar a integral. Primeiro, observamos que P = eta beta^2 I^2 ell^216 pi^2 integral0^2pi integral0^pi (cos^2 theta cos^2 phi + sin^2 phi ) sin theta , dtheta , dphi no numerador e no denominador se cancelam:
P = eta beta^2 I^2 ell^216 pi^2 [ integral0^2pi cos^2 phi , dphi integral0^pi cos^2 theta sin theta , dtheta + integral0^2pi sin^2 phi , dphi integral0^pi sin theta , dtheta ]
Agora, vamos resolver a integral dupla. Podemos separar em duas integrais:
integral1^-1 u^2 (-du) = integral-1^1 u^2 du = 23
Vamos resolver cada parte:
  1. Integral sobre P = eta beta^2 I^2 ell^216 pi^2 [ pi cdot 23 + pi cdot 2 ] = eta beta^2 I^2 ell^216 pi^2 ( 2pi3 + 2pi ) = eta beta^2 I^2 ell^216 pi^2 cdot 8pi3 :
    • P = eta beta^2 I^2 ell^216 pi^2 cdot 8pi3 = eta beta^2 I^2 ell^26 pi
  2. Integral sobre :

    • Vamos fazer uma substituição: , então .
      A integral fica:
Substituindo esses valores na expressão de :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a resistência de irradiação P = 12 I^2 Rrad . A resistência de irradiação relaciona a potência irradiada com a corrente no dipolo pela fórmula:
eta beta^2 I^2 ell^26 pi = 12 I^2 Rrad
Comparando com a expressão que encontramos para Rrad = 2 eta beta^2 ell^26 pi = eta beta^2 ell^23 pi :
Rrad = eta beta^2 ell^23 pi
Cancelando de ambos os lados:
Portanto, a resistência de irradiação é:

Resposta

A potência irradiada pelo dipolo é:
P = eta beta^2 I^2 ell^26 pi
E a resistência de irradiação do dipolo é:
Rrad = eta beta^2 ell^23 pi

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