Ache os autovalores e autovetores (à esquerda e à direita) da matriz abaixo.
[ 1 2 -4 ; 0 2 1 ; 0 0 3 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os autovalores e autovetores (tanto à esquerda quanto à direita) da matriz dada. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os autovalores e depois usar esses valores para achar os autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Uma matriz triangular, como essa que a gente tem aqui, tem uma propriedade legal: seus autovalores são simplesmente os elementos que estão na diagonal principal. Olha só a matriz:
[ 1 2 -4 ; 0 2 1 ; 0 0 3 ]
Os elementos da diagonal principal são 1, 2 e 3. Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores à direita para cada um deles. Para isso, usamos a equação:
Onde é a matriz dada, é o autovalor, é a identidade, e é o autovetor que queremos encontrar.

Para :

Resolvendo :
Isso nos dá o sistema de equações:
Da terceira equação, resulta em .
Substituindo na segunda equação: .
A primeira equação já está satisfeita, então é livre. Podemos escolher .
Então, o autovetor à direita correspondente a é:

Para :

Resolvendo :
Sistema de equações:
Da segunda e terceira equações, .
Substituindo na primeira equação: ou .
Podemos escolher , então .
Então, o autovetor à direita correspondente a é:

Para :

Resolvendo :
Sistema de equações:
Da segunda equação: ou .
Substituindo na primeira equação:
Podemos escolher , então e .
Então, o autovetor à direita correspondente a é:

Passo 4

Agora vamos encontrar os autovetores à esquerda. Aqui, a gente precisa encontrar vetores linha que satisfazem:
Vamos fazer isso para cada autovalor.

Para :

Precisamos encontrar tal que:
Isso resulta nas equações:
Da primeira equação, não temos informação. Da segunda equação: .
Substituindo na terceira equação:
Podemos escolher , então e .
Então, o autovetor à esquerda correspondente a é:

Para :

Precisamos encontrar tal que:
Isso resulta nas equações:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação: (sem informação).
Na terceira equação: .
Podemos escolher , então .
Então, o autovetor à esquerda correspondente a é:

Para :

Precisamos encontrar tal que:
Isso resulta nas equações:
Da primeira equação: .
Substituindo na segunda equação: .
A terceira equação também fica , sem informação sobre .
Podemos escolher .
Então, o autovetor à esquerda correspondente a é:

Resposta

Os autovalores são , e .
Os autovetores à direita correspondentes são:
Os autovetores à esquerda correspondentes são:

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