Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
h) lim x +infty(raizx^2+1-raizx^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui estamos trabalhando com limites no infinito e funções de raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a diferença das raízes. Uma técnica útil aqui é multiplicar pela forma conjugada da expressão. Isso ajuda a eliminar as raízes e simplificar a expressão. A forma conjugada de é .

Passo 3

Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada:
raizx^2+1-raizx^2-1 = (raizx^2+1-raizx^2-1) cdot (raizx^2+1+raizx^2-1)raizx^2+1+raizx^2-1
No numerador, usamos a identidade .

Passo 4

Aplicando a identidade no numerador:
(raizx^2+1)^2 - (raizx^2-1)^2 = (x^2+1) - (x^2-1) = 2
Então, a expressão fica:
2raizx^2+1+raizx^2-1

Passo 5

Agora, vamos analisar o denominador: raizx^2+1 = |x|raiz1+1x^2 e raizx^2-1 = |x|raiz1-1x^2 . Para facilitar, vamos fatorar xraiz1+1x^2 + xraiz1-1x^2 = x(raiz1+1x^2 + raiz1-1x^2) de dentro das raízes:
Como , é positivo, então :

Passo 6

Com isso, nossa expressão original simplificada fica:
2x(raiz1+1x^2 + raiz1-1x^2) = 2x cdot (2 + 1x^2 - 1x^2 + dots) approx 22x = 1x
À medida que tende para , tende para 0.

Resposta

lim x +infty(raizx^2+1-raizx^2-1) = 0

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Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
f) lim x -infty 2 x+5raiz2 x^2-5
Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x)=x para -pi <= x <= pi e f(x+2 pi)=f(x). Resp: 2 sumn=1^infty (-1)^n+1n sin (n x)
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
f(x) = { 0, -pi <= x <= 0 ; x, 0 <= x <= pi } T =
2 pi
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
j) lim x 0 sen 5 x4 x