Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
k) lim x 0 sen 3 x cdot sen 5 xx^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o seguinte limite:
limx 0 sin 3x cdot sin 5xx^2
Aqui, estamos trabalhando com Limites, que é um conceito fundamental em Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam as funções trigonométricas quando o ângulo se aproxima de zero, além de usar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante para limites que envolve funções seno. Sabemos que:
limx 0 sin xx = 1
Isso significa que, quando está bem perto de zero, o seno de é aproximadamente igual a . Vamos usar essa ideia para simplificar nosso limite.

Passo 3

Vamos reescrever o numerador da fração usando essa aproximação. Temos:
sin 3x approx 3x e sin 5x approx 5x quando x 0
Substituindo na expressão original:
sin 3x cdot sin 5xx^2 approx (3x) cdot (5x)x^2 = 15x^2x^2

Passo 4

Agora, simplificamos a fração:
15x^2x^2 = 15
Note que os se cancelam, deixando apenas o número 15.

Passo 5

Portanto, concluímos que:
limx 0 sin 3x cdot sin 5xx^2 = 15

Resposta

O limite é igual a 15.

Exercícios relacionados