Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
k) lim x 0 sen 3 x cdot sen 5 xx^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o seguinte limite:
limx 0 sin 3x cdot sin 5xx^2
Aqui, estamos trabalhando com Limites, que é um conceito fundamental em Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam as funções trigonométricas quando o ângulo se aproxima de zero, além de usar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra importante para limites que envolve funções seno. Sabemos que:
limx 0 sin xx = 1
Isso significa que, quando está bem perto de zero, o seno de é aproximadamente igual a . Vamos usar essa ideia para simplificar nosso limite.

Passo 3

Vamos reescrever o numerador da fração usando essa aproximação. Temos:
sin 3x approx 3x e sin 5x approx 5x quando x 0
Substituindo na expressão original:
sin 3x cdot sin 5xx^2 approx (3x) cdot (5x)x^2 = 15x^2x^2

Passo 4

Agora, simplificamos a fração:
15x^2x^2 = 15
Note que os se cancelam, deixando apenas o número 15.

Passo 5

Portanto, concluímos que:
limx 0 sin 3x cdot sin 5xx^2 = 15

Resposta

O limite é igual a 15.

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Dada a função f(x) = { 1, 0 < x < 1; 0, 1 < x < 2 },
Desenvolva f(x) em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(x) de período 4 .
Determine as assíntotas horizontais e verticais da função dada por
f(x)=(x^2+1)/(3x-2x^2).
Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x) = { x, -pi/2 <= x <= 0; 0, 0 <= x <= pi/2; f(x + pi) = f(x) }
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
f(x) = x, -1 <= x <= 1, T = 2