Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para determinar a série de Fourier da função
definida no intervalo
com período
.
Conteúdo da matéria: Séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.
O que vamos precisar:
- Entender como calcular os coeficientes da série de Fourier.
- Saber identificar se a função é par ou ímpar para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função
é ímpar, ou seja, satisfaz
. Isso é importante porque para funções ímpares, apenas os termos de seno aparecem na série de Fourier.
Teoria aplicada: Para funções ímpares em um intervalo simétrico ao redor de zero, a série de Fourier simplifica para uma série de senos, já que os coeficientes dos cossenos (termos pares) são zero.
Passo 3
A série de Fourier de
para uma função ímpar é dada por:
Onde
(já que
) e os coeficientes
são calculados por:
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes
:
Explicação: Como a função é ímpar, podemos integrar de
a
e multiplicar por 2 para obter os coeficientes.
Passo 5
Para resolver a integral
, usamos o método de integração por partes, onde:
-
então -
então
Aplicando a fórmula de integração por partes:
A segunda integral resulta em:
Passo 6
Agora, substituímos os limites de integração de
a
:
Calculando cada termo:
-
No primeiro termo:
- Para
: - Para
: (pois )
- Para
-
No segundo termo:
- Para
: - Para
:
- Para
Portanto:
Passo 7
Sabemos que
para qualquer inteiro
, e
. Assim, simplificamos:
Portanto:
Passo 8
Substituindo os coeficientes
na série de Fourier, temos:
Resposta
A série de Fourier da função
definida no intervalo
com período
é:
Exercícios relacionados
Encontre a série de Fourier da função dada.
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
k)
k)
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
l)
l)
Mostre que a sequência
converge e obtenha o seu limite.