Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
f(x) = x, -1 <= x <= 1, T = 2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para determinar a série de Fourier da função definida no intervalo com período .
Conteúdo da matéria: Séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.
O que vamos precisar:
  • Entender como calcular os coeficientes da série de Fourier.
  • Saber identificar se a função é par ou ímpar para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função é ímpar, ou seja, satisfaz . Isso é importante porque para funções ímpares, apenas os termos de seno aparecem na série de Fourier.
Teoria aplicada: Para funções ímpares em um intervalo simétrico ao redor de zero, a série de Fourier simplifica para uma série de senos, já que os coeficientes dos cossenos (termos pares) são zero.

Passo 3

A série de Fourier de para uma função ímpar é dada por:
Onde (já que ) e os coeficientes são calculados por:

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes :
Explicação: Como a função é ímpar, podemos integrar de a e multiplicar por 2 para obter os coeficientes.

Passo 5

Para resolver a integral , usamos o método de integração por partes, onde:
  • então
  • então
Aplicando a fórmula de integração por partes:
A segunda integral resulta em:

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração de a :
Calculando cada termo:
  • No primeiro termo:
    • Para :
    • Para : (pois )
  • No segundo termo:
    • Para :
    • Para :
Portanto:

Passo 7

Sabemos que para qualquer inteiro , e . Assim, simplificamos:
Portanto:

Passo 8

Substituindo os coeficientes na série de Fourier, temos:

Resposta

A série de Fourier da função definida no intervalo com período é:

Exercícios relacionados

Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x) = { x, -pi/2 <= x <= 0; 0, 0 <= x <= pi/2; f(x + pi) = f(x) }
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
k) lim x 0 sen 3 x cdot sen 5 xx^2
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
l) lim x 0 cos x-1sen x
Mostre que a sequência cos(n)/n^2 converge e obtenha o seu limite.