Encontre a série de Fourier da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier! O enunciado nos dá uma função
que é diferente em dois intervalos: de
a
, onde
, e de
a
, onde
. Essa função se repete a cada
unidades, ou seja, é uma função periódica com período
. Para encontrar a série de Fourier dessa função, vamos precisar usar as fórmulas de coeficientes de Fourier para funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a série de Fourier de uma função periódica pode ser escrita como:
onde
é o período da função. No nosso caso,
, então a fórmula fica:
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Como a segunda integral é zero, fica:
Passo 4
Calculando a integral:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
. A fórmula é:
Substituindo
:
A segunda integral é zero, então:
Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes.
Passo 6
Integrando por partes onde
e
:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então:
Passo 7
Avaliando de
a
:
Em
:
Em
:
Como
e
:
Portanto:
Passo 8
Voltando ao
:
Isso nos dá os coeficientes
.
Passo 9
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula é:
Substituindo
:
A segunda integral é zero, então:
Vamos resolver essa integral também por partes.
Passo 10
Integrando por partes onde
e
:
Aplicando a integração por partes:
Passo 11
Avaliando de
a
:
Em
:
Em
:
Portanto:
Passo 12
Voltando ao
:
Então, os coeficientes
são:
Passo 13
Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier da funç��o
é:
Resposta
A série de Fourier da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
k)
k)
Dada a função
,
Desenvolva em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período 4 .
Desenvolva
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
l)
l)