Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x) = { x, -pi/2 <= x <= 0; 0, 0 <= x <= pi/2; f(x + pi) = f(x) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier! O enunciado nos dá uma função que é diferente em dois intervalos: de a , onde , e de a , onde . Essa função se repete a cada unidades, ou seja, é uma função periódica com período . Para encontrar a série de Fourier dessa função, vamos precisar usar as fórmulas de coeficientes de Fourier para funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a série de Fourier de uma função periódica pode ser escrita como:
onde é o período da função. No nosso caso, , então a fórmula fica:

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Substituindo :
Como a segunda integral é zero, fica:

Passo 4

Calculando a integral:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para . A fórmula é:
Substituindo :
A segunda integral é zero, então:
Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes.

Passo 6

Integrando por partes onde e :
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então:

Passo 7

Avaliando de a :
Em :
Em :
Como e :
Portanto:

Passo 8

Voltando ao :
Isso nos dá os coeficientes .

Passo 9

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula é:
Substituindo :
A segunda integral é zero, então:
Vamos resolver essa integral também por partes.

Passo 10

Integrando por partes onde e :
Aplicando a integração por partes:

Passo 11

Avaliando de a :
Em :
Em :
Portanto:

Passo 12

Voltando ao :
Então, os coeficientes são:

Passo 13

Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier da funç��o é:

Resposta

A série de Fourier da função é:

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
k) lim x 0 sen 3 x cdot sen 5 xx^2
Dada a função f(x) = { 1, 0 < x < 1; 0, 1 < x < 2 },
Desenvolva f(x) em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de f(x) de período 4 .
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
f(x) = x, -1 <= x <= 1, T = 2
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
l) lim x 0 cos x-1sen x