Dada a função ,
Desenvolva em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de de período 4 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenvolver a função , que vale 1 entre 0 e 1 e 0 entre 1 e 2, em uma série de Fourier de co-senos. Além disso, precisamos desenhar o gráfico da extensão periódica dessa função com período 4. Vamos trabalhar com séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e co-senos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que como a função é definida no intervalo de 0 a 2 e queremos uma extensão periódica de período 4, isso significa que vamos considerar o intervalo de a para facilitar o desenvolvimento em série de Fourier. Mas nosso foco será na série de co-senos, que é adequada para funções pares.
Passo 3
A série de Fourier de co-senos para uma função em um intervalo é dada por:
Aqui, é a metade do período, então no nosso caso, .
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes e . Eles são definidos por:
Com , substituímos na fórmula.
Passo 5
Calculando :
Sabemos que de 0 a 1 e 0 de 1 a 2, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular :
De novo, dividimos a integral nos intervalos onde é 1 e 0:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 8
Vamos simplificar . Observando que varia dependendo de :
Se for ímpar, será .
Se for par, .
Portanto, apenas os termos ímpares contribuem para a série.
Passo 9
Assim, podemos escrever os coeficientes para ímpar ():
Isso porque para ímpar.
Passo 10
Agora, juntando tudo na série de Fourier de co-senos:
Passo 11
Finalmente, para desenhar o gráfico da extensão periódica de com período 4, repetimos o comportamento da função definida de 0 a 2 para todo múltiplo de 4. Ou seja, a função será:
Resposta
A série de Fourier de co-senos para a função é:
E o gráfico da extensão periódica de com período 4 é uma função que alterna entre 1 e 0 em intervalos de 1 unidade, repetindo esse padrão a cada 4 unidades no eixo .