Encontre a série de Fourier da função dada.
para
e
. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier! A gente tem a função
definida no intervalo de
a
e que se repete a cada
. Nosso objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma série de Fourier para uma função periódica com período
pode ser escrita como:
Aqui,
,
e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
. Ele é dado por:
Substituindo
:
Porque a função
é ímpar e o intervalo é simétrico em relação a zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
. Eles são dados por:
Mas, já que
é uma função ímpar e
é par, o produto das duas é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Assim, todos os
são zero.
Passo 5
Vamos agora calcular os coeficientes
. Eles são dados por:
Como
é ímpar e
também é ímpar, o produto das duas é par. Isso significa que a integral não vai dar zero e precisamos calculá-la.
Passo 6
Calculando
:
Usando integração por partes, vamos obter:
Simplificando, temos:
Resposta
A série de Fourier da função
é:
Exercícios relacionados
Dada a função
,
Desenvolva em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período 4 .
Desenvolva
Dada a função
,
Desenvolva em série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período
.
Desenvolva
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
f)
f)
Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
h)
h)