Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x)=x para -pi <= x <= pi e f(x+2 pi)=f(x). Resp: 2 sumn=1^infty (-1)^n+1n sin (n x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier! A gente tem a função definida no intervalo de a e que se repete a cada . Nosso objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma série de Fourier para uma função periódica com período f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nx) + bn sin(nx) ] pode ser escrita como:
Aqui, , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente a0 = 1pi integral-pi^pi f(x) , dx . Ele é dado por:
a0 = 1pi integral-pi^pi x , dx = 0
Substituindo :
Porque a função é ímpar e o intervalo é simétrico em relação a zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(nx) , dx . Eles são dados por:
Mas, já que é uma função ímpar e é par, o produto das duas é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Assim, todos os são zero.

Passo 5

Vamos agora calcular os coeficientes bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sin(nx) , dx . Eles são dados por:
Como é ímpar e também é ímpar, o produto das duas é par. Isso significa que a integral não vai dar zero e precisamos calculá-la.

Passo 6

Calculando bn = 1pi integral-pi^pi x sin(nx) , dx = 2pi integral0^pi x sin(nx) , dx :
bn = 2pi ( (-1)^n+1n )
Usando integração por partes, vamos obter:
bn = 2(-1)^n+1n
Simplificando, temos:

Resposta

A série de Fourier da função f(x) = 2 sumn=1^infty (-1)^n+1n sin(nx) é:

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Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
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