Calcule os seguintes limites: i) lim x b cos x-cos bx-b

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x b cos x - cos bx - b
Esse tipo de limite está relacionado ao conceito de derivada na matemática, mais especificamente à definição da derivada de uma função em um ponto. Para resolver, vamos precisar entender o que é derivada e como ela se aplica à função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função nesse ponto. Matematicamente, a derivada de uma função f'(a) = limx to a f(x) - f(a)x - a em é definida como:
Nesse caso, nossa função é e estamos avaliando a derivada em .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função. Substituindo f'(b) = limx to b cos x - cos bx - b por e por , temos:
Perceba que isso é exatamente o limite que precisamos calcular! Portanto, o limite dado é a derivada de em .

Passo 4

Agora, sabemos que a derivada da função cosseno é:
ddx cos x = -sin x
Isso significa que:
f'(b) = -sin b

Resposta

Portanto, o limite vale:
lim x b cos x - cos bx - b = -sin b

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