Calcule os seguintes limites: p) lim x 0(1+sen x)^1 / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, mais especificamente lidamos com funções exponenciais e limites que envolvem formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o limite usando o logaritmo natural. Sabemos que se ln L = limx 0 ln ( (1 + sen x)^1/x ) , então , desde que . Assim, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 3

Aplicando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
Agora, nosso objetivo é encontrar esse limite e depois aplicar a exponenciação para obter ln L = limx 0 1x cdot ln(1 + sen x) .

Passo 4

Observamos que, conforme ln L approx limx 0 1x cdot sen x se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Portanto, está na forma de ln L = 1 com . Uma aproximação conhecida é quando é pequeno.
Então, substituindo:
Sabemos que quando , então:

Passo 5

Agora, para encontrar L = e^ln L = e^1 = e , aplicamos a exponenciação em ambos os lados:

Resposta

O limite é igual a .

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