Calcule os seguintes limites: p)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, mais especificamente lidamos com funções exponenciais e limites que envolvem formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o limite usando o logaritmo natural. Sabemos que se
, então
, desde que
. Assim, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 3
Aplicando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
Agora, nosso objetivo é encontrar esse limite e depois aplicar a exponenciação para obter
.
Passo 4
Observamos que, conforme
se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Portanto, está na forma de
com
. Uma aproximação conhecida é
quando
é pequeno.
Então, substituindo:
Sabemos que quando
, então:
Passo 5
Agora, para encontrar
, aplicamos a exponenciação em ambos os lados:
Resposta
O limite é igual a
.
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