Determine a integral de:
integral 3 x-2x^2+3 x-10 d x

Passo 1

Beleza, temos que resolver a integral . Isso está na área de cálculo integral, especificamente integrando funções racionais. Vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2) . Procuramos dois números que multiplicados dão -10 e somados dão 3. Esses números são 5 e -2. Então:

Passo 3

Agora, escrevemos a fração 3x - 2(x + 5)(x - 2) = Ax + 5 + Bx - 2 como soma de frações parciais. Vamos assumir que:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 3x - 2 = A(x - 2) + B(x + 5) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de 3(2) - 2 = A(2 - 2) + B(2 + 5) implies 6 - 2 = 0 + 7B implies 4 = 7B implies B = 47 e 3(-5) - 2 = A(-5 - 2) + B(-5 + 5) implies -15 - 2 = -7A + 0 implies -17 = -7A implies A = 177 . Podemos escolher valores de que simplifiquem a equação.
Primeiro, deixe :
Agora, deixe :

Passo 6

Então, a fração se decompõe em:
3x - 2(x + 5)(x - 2) = 177x + 5 + 47x - 2
Podemos simplificar os coeficientes:
177 cdot 1x + 5 + 47 cdot 1x - 2

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral ( 177 cdot 1x + 5 + 47 cdot 1x - 2 ) dx = 177 ln|x + 5| + 47 ln|x - 2| + C

Resposta

A integral é igual a .

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