Calcule os seguintes limites infinitos:
lim x 0^+ sin xx^3-x^2

Passo 1

Vamos calcular o limite lim x 0^+ sin xx^3-x^2. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento das funções seno e polinômios próximo a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador sin x. Sabemos que, perto de x = 0, a função seno pode ser aproximada por sin x approx x. Isso é porque, para valores pequenos de x, os termos de ordem superior na expansão em série de Taylor de sin x se tornam negligenciáveis.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador x^3 - x^2. Podemos fatorar esse polinômio para facilitar a análise:
x^3 - x^2 = x^2(x - 1)
Isso nos mostra que, quando x se aproxima de 0, o denominador se comporta como x^2(-1), já que x - 1 tende a -1.

Passo 4

Substituindo as aproximações que fizemos no numerador e no denominador na expressão original, temos:
sin xx^3-x^2 approx xx^2(-1) = x-x^2 = -1x
Então, a expressão se simplifica para -1x quando x se aproxima de 0.

Passo 5

Agora, precisamos avaliar o limite de -1x quando x tende a 0^+. Como x está se aproximando de zero pela direita (valores positivos muito pequenos), x se torna um número cada vez menor positivo.

Passo 6

À medida que x se aproxima de 0^+, a fração 1x cresce sem limites, ou seja, tende a +infty. Portanto, multiplicando por -1, o limite de -1x tende a -infty.

Resposta

O limite lim x 0^+ sin xx^3-x^2 é igual a -infty.

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