Calcule os seguintes limites infinitos:
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento das funções seno e polinômios próximo a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador
. Sabemos que, perto de
, a função seno pode ser aproximada por
. Isso é porque, para valores pequenos de
, os termos de ordem superior na expansão em série de Taylor de
se tornam negligenciáveis.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador
. Podemos fatorar esse polinômio para facilitar a análise:
Isso nos mostra que, quando
se aproxima de
, o denominador se comporta como
, já que
tende a
.
Passo 4
Substituindo as aproximações que fizemos no numerador e no denominador na expressão original, temos:
Então, a expressão se simplifica para
quando
se aproxima de
.
Passo 5
Agora, precisamos avaliar o limite de
quando
tende a
. Como
está se aproximando de zero pela direita (valores positivos muito pequenos),
se torna um número cada vez menor positivo.
Passo 6
À medida que
se aproxima de
, a fração
cresce sem limites, ou seja, tende a
. Portanto, multiplicando por
, o limite de
tende a
.
Resposta
O limite
é igual a
.
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Resolva as integrais indefinidas a seguir: