Calcule os seguintes limites infinitos:
lim x -infty x^3-3 x^2+12 x^2+1

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte limite para calcular:
lim x -infty x^3-3 x^2+12 x^2+1
Isso está relacionado ao assunto de limites no cálculo, mais especificamente limites de funções racionais quando vai para infinito negativo. Vamos precisar entender como comparar os termos com maior grau no numerador e no denominador para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é . Quando tende a infinito (positivo ou negativo), esses termos dominam o comportamento da função.

Passo 3

A estratégia aqui é dividir todos os termos do numerador e do denominador pelo maior grau de x^3-3 x^2+12 x^2+1 = x^3/x^2 - 3x^2/x^2 + 1/x^22x^2/x^2 + 1/x^2 = x - 3 + 1x^22 + 1x^2 que aparece no denominador, que nesse caso é . Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando x - 3 + 02 + 0 = x - 32 tende a . Sabemos que tende a zero, já que o denominador cresce sem limites. Portanto, simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, vemos que lim x -infty x - 32 = -infty2 = -infty ainda depende de . Como está indo para , o termo domina, e então:

Resposta

lim x -infty x^3-3 x^2+12 x^2+1 = -infty

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