Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Este exercício envolve conhecimentos sobre limites no infinito e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como se comporta a expressão
quando
cresce sem limite e como isso se relaciona com a constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
se aproxima de
quando
tende ao infinito. Isso é uma definição conhecida da constante
:
Então, a expressão dentro do limite original está considerando a diferença entre
e essa aproximação.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão dentro do limite para facilitar a análise:
Sabemos que
se aproxima de
, então a diferença
tende a zero. Entretanto, estamos multiplicando isso por
, que cresce exponencialmente. Precisamos entender qual dessas duas tendências domina o comportamento do limite.
Passo 4
Para analisar melhor, vamos expandir
usando o desenvolvimento em série de Taylor:
A aproximação principal é:
Portanto:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão original:
Agora, analisamos o comportamento de
quando
tende ao infinito.
Passo 6
Sabemos que a função exponencial
cresce muito mais rapidamente que qualquer função polinomial, incluindo
. Portanto, quando
tende ao infinito:
Isso significa que o limite original também tende a infinito.
Resposta
O limite é infinito: