Calcule os seguintes limites:
j lim x +infty e^x[e-(1+1x)^x]

Passo 1

Vamos calcular o limite . Este exercício envolve conhecimentos sobre limites no infinito e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como se comporta a expressão quando cresce sem limite e como isso se relaciona com a constante .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que limx to +infty (1 + 1x)^x = e se aproxima de quando tende ao infinito. Isso é uma definição conhecida da constante :
Então, a expressão dentro do limite original está considerando a diferença entre e essa aproximação.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão dentro do limite para facilitar a análise:
e^x[e - (1+1x)^x] = e^x cdot [e - (1+1x)^x]
Sabemos que se aproxima de , então a diferença tende a zero. Entretanto, estamos multiplicando isso por , que cresce exponencialmente. Precisamos entender qual dessas duas tendências domina o comportamento do limite.

Passo 4

Para analisar melhor, vamos expandir (1+1x)^x = e^1 - 12x + 13x^2 - dots usando o desenvolvimento em série de Taylor:
(1+1x)^x approx e cdot e^-12x = e (1 - 12x + dots )
A aproximação principal é:
e - (1+1x)^x approx e cdot 12x
Portanto:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão original:
e^x cdot [e - (1+1x)^x] approx e^x cdot e2x = e^x+12x
Agora, analisamos o comportamento de quando tende ao infinito.

Passo 6

Sabemos que a função exponencial e^x+12x to +infty cresce muito mais rapidamente que qualquer função polinomial, incluindo . Portanto, quando tende ao infinito:
Isso significa que o limite original também tende a infinito.

Resposta

O limite é infinito:
lim x +infty e^x[e-(1+1x)^x] = +infty

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