Idem, considerando as seguintes opções para uma função h:
b * h(t) = e^(-t^2).

Passo 1

Beleza, galera! Vamos dar uma olhada nessa questão. A gente tem uma função definida como . O assunto aqui é cálculo, mais especificamente envolvendo funções exponenciais e suas propriedades. Para resolver o que for pedido sobre essa função, vamos precisar entender como essa função se comporta, suas derivadas, integrais, e talvez até sua transformação de Fourier, dependendo do que a questão pedir. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Essa é uma função exponencial onde o expoente é . Essa forma específica é conhecida como a função Gaussiana. Ela é muito usada em estatística, física e engenharia por causa de suas propriedades legais, como ser simétrica em relação ao eixo y e ter uma rápida queda para zero conforme se afasta de zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada dessa função. Isso é útil para entender como ela muda em relação a .
A derivada de em relação a é . Aqui, , então .
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral indefinida dessa função. Integrar não resulta em uma antiderivada que possa ser expressa com funções elementares. Porém, sabemos que a integral definida de de a é . Isso é uma propriedade importante da função Gaussiana.

Passo 5

Outra propriedade interessante é a simetria dessa função. Como o expoente é um número par (porque ), a função é uma função par. Isso significa que ela é simétrica em relação ao eixo y:

Resposta

Resumindo, a função é uma função Gaussiana, é simétrica em relação ao eixo y (função par), sua derivada é , e a integral definida de a dela é .

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