Idem, considerando as seguintes opções para uma função h:
.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos dar uma olhada nessa questão. A gente tem uma função definida como
. O assunto aqui é cálculo, mais especificamente envolvendo funções exponenciais e suas propriedades. Para resolver o que for pedido sobre essa função, vamos precisar entender como essa função se comporta, suas derivadas, integrais, e talvez até sua transformação de Fourier, dependendo do que a questão pedir. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Essa é uma função exponencial onde o expoente é
. Essa forma específica é conhecida como a função Gaussiana. Ela é muito usada em estatística, física e engenharia por causa de suas propriedades legais, como ser simétrica em relação ao eixo y e ter uma rápida queda para zero conforme
se afasta de zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada dessa função. Isso é útil para entender como ela muda em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, então
.
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral indefinida dessa função. Integrar
não resulta em uma antiderivada que possa ser expressa com funções elementares. Porém, sabemos que a integral definida de
de
a
é
. Isso é uma propriedade importante da função Gaussiana.
Passo 5
Outra propriedade interessante é a simetria dessa função. Como o expoente
é um número par (porque
), a função
é uma função par. Isso significa que ela é simétrica em relação ao eixo y:
Resposta
Resumindo, a função
é uma função Gaussiana, é simétrica em relação ao eixo y (função par), sua derivada é
, e a integral definida de
a
dela é
.