Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou uma função hiperbólica, a tangente hiperbólica, que é definida por:
Estamos trabalhando com funções hiperbólicas, que são semelhantes às funções trigonométricas, mas baseadas na hipérbole. Para resolver o exercício, vamos precisar entender essa definição e aplicar algumas propriedades básicas das funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da tangente hiperbólica. Observamos que tanto no numerador quanto no denominador temos termos com
e
. Vamos fatorar
em ambos.
Numerador:
Denominador:
Passo 3
Agora, podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 4
Para facilitar ainda mais, podemos multiplicar numerador e denominador por
:
Isso nos retorna à definição original, confirmando que nossa simplificação está correta.
Passo 5
Agora, vamos explorar algumas propriedades da tangente hiperbólica. Sabemos que:
-
porque e . - À medida que
aumenta para o infinito, se aproxima de 1. - À medida que
diminui para o negativo infinito, se aproxima de -1.
Essas propriedades são úteis para entender o comportamento da função em diferentes intervalos.
Passo 6
Se quisermos calcular a derivada da tangente hiperbólica, usamos a regra do quociente. Vamos derivar
:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada fica:
Resposta
A derivada da tangente hiperbólica
é:
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Idem, considerando as seguintes opções para uma função h:
$c. h(t)=e^{2 t}-e-t.$
Calcule os seguintes limites:
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
Calcule os seguintes limites: