Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
c. tgh(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou uma função hiperbólica, a tangente hiperbólica, que é definida por:
Estamos trabalhando com funções hiperbólicas, que são semelhantes às funções trigonométricas, mas baseadas na hipérbole. Para resolver o exercício, vamos precisar entender essa definição e aplicar algumas propriedades básicas das funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da tangente hiperbólica. Observamos que tanto no numerador quanto no denominador temos termos com e . Vamos fatorar em ambos.
Numerador:
Denominador:

Passo 3

Agora, podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por :

Passo 4

Para facilitar ainda mais, podemos multiplicar numerador e denominador por :
Isso nos retorna à definição original, confirmando que nossa simplificação está correta.

Passo 5

Agora, vamos explorar algumas propriedades da tangente hiperbólica. Sabemos que:
  • porque e .
  • À medida que aumenta para o infinito, se aproxima de 1.
  • À medida que diminui para o negativo infinito, se aproxima de -1.
Essas propriedades são úteis para entender o comportamento da função em diferentes intervalos.

Passo 6

Se quisermos calcular a derivada da tangente hiperbólica, usamos a regra do quociente. Vamos derivar :
Simplificando o numerador:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da tangente hiperbólica é:

Exercícios relacionados

Idem, considerando as seguintes opções para uma função h: $c. h(t)=e^{2 t}-e-t.$
Calcule os seguintes limites:
j lim x +infty e^x[e-(1+1x)^x]
Idem, considerando as seguintes opções para uma função f:
b. f(t) = t / ln(t)
Calcule os seguintes limites:
k lim x +infty(1+1x^2)^x