Calcule os seguintes limites:
6. lim x +infty raiz[4]x^5+2-raiz[3]x^2+1raiz[5]x^4+2-raizx^3+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite aí que envolve raízes de diferentes ordens. O que a gente precisa saber aqui são os conceitos de limites no infinito e como simplificar expressões com radicais quando cresce muito. Vamos usar propriedades de potências e radicais para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada termo dentro das raízes e identificar qual é a potência de que mais “pesa” quando vai para infinito. Isso ajuda a simplificar as expressões.
  • Na expressão , o termo dominante é .
  • Na expressão , o termo dominante é .
  • Na expressão , o termo dominante é .
  • Na expressão , o termo dominante é .

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada radical extraindo a potência dominante. A ideia é fatorar o termo dominante e reescrever a expressão de forma que possamos cancelar termos semelhantes.
  • Para , podemos escrever como .
  • Para , fica .
  • Para , temos .
  • Para , fica .
Como vai para infinito, os termos com vão para zero, então as raízes próximas a 1 tendem a 1.

Passo 4

Substituindo essas simplificações na expressão original, temos:
limx to +infty x^5/4 - x^2/3x^4/5 - x^3/2
Agora, vamos identificar o termo de maior crescimento no numerador e no denominador.
  • No numerador, limx to +infty x^5/4-x^3/2 = limx to +infty -x^5/4 - 3/2 = limx to +infty -x^-1/4 cresce mais rápido que .
  • No denominador, cresce mais rápido que .
Então, a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limx to +infty -x^-1/4 = 0 quando vai para infinito. Sabemos que , e quando cresce muito, tende a zero.
Logo,

Resposta

O limite é igual a 0.

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Calcule os seguintes limites:
3. lim x +infty(x raizx-1x+1-x).
1. $\frac{1}{2} ;+\infty$ 4. $2 ; 1$ 7. 1 2. $\frac{1}{2} ;-\infty$ 5. $+\infty ;-\frac{3}{4}$ 8. $\frac{4}{3}$ 3. -1 6. 0 10. 1
Calcule os seguintes limites:
4. lim x pm infty raizx^2+1+3 x2 x-5.
Calcule os seguintes limites:
8. lim x +infty x^13[(x+1)^23-(x-1)^23].