Calcule os seguintes limites:
6.
.
6.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite aí que envolve raízes de diferentes ordens. O que a gente precisa saber aqui são os conceitos de limites no infinito e como simplificar expressões com radicais quando
cresce muito. Vamos usar propriedades de potências e radicais para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada termo dentro das raízes e identificar qual é a potência de
que mais “pesa” quando
vai para infinito. Isso ajuda a simplificar as expressões.
- Na expressão
, o termo dominante é . - Na expressão
, o termo dominante é . - Na expressão
, o termo dominante é . - Na expressão
, o termo dominante é .
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada radical extraindo a potência dominante. A ideia é fatorar o termo dominante e reescrever a expressão de forma que possamos cancelar termos semelhantes.
- Para
, podemos escrever como . - Para
, fica . - Para
, temos . - Para
, fica .
Como
vai para infinito, os termos com
vão para zero, então as raízes próximas a 1 tendem a 1.
Passo 4
Substituindo essas simplificações na expressão original, temos:
Agora, vamos identificar o termo de maior crescimento no numerador e no denominador.
- No numerador,
cresce mais rápido que . - No denominador,
cresce mais rápido que .
Então, a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
vai para infinito. Sabemos que
, e quando
cresce muito,
tende a zero.
Logo,
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
3. .
3.
1. $\frac{1}{2} ;+\infty$
4. $2 ; 1$
7. 1
2. $\frac{1}{2} ;-\infty$
5. $+\infty ;-\frac{3}{4}$
8. $\frac{4}{3}$
3. -1
6. 0
10. 1
Calcule os seguintes limites:
4. .
4.
Calcule os seguintes limites:
8. .
8.