Vamos calcular o limite . Esse exercício envolve conceitos de limites no infinito e manipulação de expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que envolvem raízes e termos dominantes quando tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, observe que a expressão dentro da raiz é . Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por :
Quando tende a , tende a 0. Então, a fração simplifica para .
Passo 3
Agora, vamos considerar a raiz quadrada dessa fração:
Para simplificar, usamos a expansão de 1 - 1x1 + 1x = 1 - 2x+1 quando raiz1 - 2x+1 approx 1 - 1x+1 é pequeno. Aqui, , já que:
Então, a raiz fica aproximada por:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão original:
x (1 - 1x+1) - x = x - xx+1 - x
Simplificando os termos:
x - x - xx+1 = -xx+1
Passo 5
Agora, analisamos o limite de limx +infty -xx+1 = -limx +infty xx+1 quando -limx +infty 11 + 1x = -11 + 0 = -1 tende a :