Calcule os seguintes limites:
3. lim x +infty(x raizx-1x+1-x).

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício envolve conceitos de limites no infinito e manipulação de expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que envolvem raízes e termos dominantes quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, observe que a expressão dentro da raiz é x-1x+1 = x(1 - 1x)x(1 + 1x) = 1 - 1x1 + 1x . Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador por :
Quando tende a , tende a 0. Então, a fração simplifica para .

Passo 3

Agora, vamos considerar a raiz quadrada dessa fração:
raiz1 - 1x1 + 1x
Para simplificar, usamos a expansão de 1 - 1x1 + 1x = 1 - 2x+1 quando raiz1 - 2x+1 approx 1 - 1x+1 é pequeno. Aqui, , já que:
Então, a raiz fica aproximada por:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original:
x (1 - 1x+1) - x = x - xx+1 - x
Simplificando os termos:
x - x - xx+1 = -xx+1

Passo 5

Agora, analisamos o limite de limx +infty -xx+1 = -limx +infty xx+1 quando -limx +infty 11 + 1x = -11 + 0 = -1 tende a :
Dividindo numerador e denominador por :

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados