Calcule os seguintes limites: lim x 4 (x-4)^3|x-4|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular . Aqui, estamos trabalhando com conceitos de limites em Cálculo, e para isso, vamos precisar entender como se comporta a função quando se aproxima de 4, além de saber trabalhar com valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Temos (x-4)^3|x-4| = (x-4)^2 cdot x-4|x-4| no numerador e no denominador. Podemos reescrever isso como:
Aqui, separamos em e , facilitando a análise do limite.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte:
  1. : Ao elevar qualquer número ao quadrado, o resultado é sempre positivo ou zero. Quando se aproxima de 4, tende a 0.
  2. : Essa fração representa o sinal de . Se , então é positivo e . Se , é negativo e . Quando exatamente é 4, a expressão não está definida, mas estamos interessados no comportamento próximo a 4.

Passo 4

Vamos agora juntar as partes:
(x-4)^2 cdot x-4|x-4| = (x-4)^2 cdot sign(x-4)
Sabemos que tende a 0 quando se aproxima de 4, e é limitado a 1 ou -1. Multiplicando algo que tende a 0 por algo finito (no caso, 1 ou -1) o resultado também tende a 0.

Resposta

Portanto, .

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