Calcule os seguintes limites: lim x 1 x^3+4 x^2-5 x1-x^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite:
lim x 1 x^3+4 x^2-5 x1-x^3
Esse tipo de limite envolve polinômios e precisamos conhecer as técnicas de fatoração para resolvê-lo.

Passo 2

Vamos começar substituindo 1^3 + 4 cdot 1^2 - 5 cdot 11 - 1^3 = 1 + 4 - 51 - 1 = 00 na expressão para verificar se conseguimos encontrar o limite diretamente:
Encontramos a forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador. Começando pelo numerador:
x^3 + 4x^2 - 5x = x(x^2 + 4x - 5)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático x^2 + 4x - 5 = (x - 1)(x + 5) . Procuramos dois números que multiplicados dêem x(x - 1)(x + 5) e somados dêem :
Então, o numerador fatorado fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador 1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2) . Isso é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
(1 - x)(1 + x + x^2)
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
x(x - 1)(x + 5)(1 - x)(1 + x + x^2)
Perceba que x(-1)(1 - x)(x + 5)(1 - x)(1 + x + x^2) = -x(x + 5)1 + x + x^2 , então podemos simplificar:

Resposta

Agora, substituindo -1(1 + 5)1 + 1 + 1^2 = -63 = -2 na expressão simplificada:
Portanto, o limite é .

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