Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite:
Esse tipo de limite envolve polinômios e precisamos conhecer as técnicas de fatoração para resolvê-lo.

Passo 2

Vamos começar substituindo na expressão para verificar se conseguimos encontrar o limite diretamente:
Encontramos a forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador. Começando pelo numerador:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Procuramos dois números que multiplicados dêem e somados dêem :
Então, o numerador fatorado fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador . Isso é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
Perceba que , então podemos simplificar:

Resposta

Agora, substituindo na expressão simplificada:
Portanto, o limite é .

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A função
é contínua no ponto ? Justifique.
a) Faça a substituição e escreva a EDO correspondente nas variáveis e .
Calcule os seguintes limites: