lim (x, y) (0,0) x^3 yx^6+3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que é . Esse tipo de problema está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função conforme se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender se o limite existe ou não. Uma boa maneira de fazer isso é verificar se o valor do limite é o mesmo quando nos aproximamos de por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, ele existe; caso contrário, não existe.

Passo 3

Vamos começar escolhendo um caminho simples, como x^3 cdot 0x^6 + 3 cdot 0^2 = 0x^6 = 0 . Substituindo na função temos:
Então, ao nos aproximarmos de ao longo do eixo , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo, x^3 cdot kx^3x^6 + 3(kx^3)^2 = kx^6x^6 + 3k^2x^6 = kx^6x^6(1 + 3k^2) = k1 + 3k^2 , onde é uma constante. Substituindo na função:
Aqui, vemos que o limite depende do valor de . Por exemplo, se , o limite é , se , é , e assim por diante. Isso significa que o limite varia dependendo do caminho escolhido.

Passo 5

Como obtivemos resultados diferentes para caminhos diferentes (0 para e para ), podemos concluir que o limite não é o mesmo em todas as direções. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque diferentes caminhos de aproximação resultam em valores distintos.

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