Calcule os seguintes limites: lim x 3 x-3raizx+1-2

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 3 x-3raizx+1-2. Esse problema envolve o cálculo de limites em funções que resultam em formas indeterminadas, então vamos usar técnicas específicas para resolver.

Passo 2

Primeiro, tentamos substituir x = 3 diretamente na expressão:
3-3raiz3+1-2 = 02-2 = 00
Essa forma 00 é uma indeterminação, ou seja, não conseguimos determinar o limite apenas substituindo os valores. Precisamos então manipular a expressão para simplificar.

Passo 3

Uma técnica comum para resolver esse tipo de limite é racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de raizx+1 - 2 é raizx+1 + 2. Então, multiplicamos a fração por raizx+1+2raizx+1+2:
x-3raizx+1-2 times raizx+1+2raizx+1+2

Passo 4

Agora, multiplicamos os termos:
  • Numerador: (x - 3)(raizx+1 + 2)
  • Denominador: (raizx+1)^2 - 2^2 (usando a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2)
Então, temos:
(x - 3)(raizx+1 + 2)x + 1 - 4 = (x - 3)(raizx+1 + 2)x - 3

Passo 5

Perceba que (x - 3) aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar esses termos:
(x - 3)(raizx+1 + 2)x - 3 = raizx+1 + 2
Agora, a expressão está muito mais simples e elimina a indeterminação que tínhamos antes.

Passo 6

Finalmente, substituímos x = 3 na expressão simplificada:
raiz3 + 1 + 2 = raiz4 + 2 = 2 + 2 = 4

Resposta

O limite é igual a 4.

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