Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse problema envolve o cálculo de limites em funções que resultam em formas indeterminadas, então vamos usar técnicas específicas para resolver.
Passo 2
Primeiro, tentamos substituir
diretamente na expressão:
Essa forma
é uma indeterminação, ou seja, não conseguimos determinar o limite apenas substituindo os valores. Precisamos então manipular a expressão para simplificar.
Passo 3
Uma técnica comum para resolver esse tipo de limite é racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
. Então, multiplicamos a fração por
:
Passo 4
Agora, multiplicamos os termos:
- Numerador:
- Denominador:
(usando a identidade )
Então, temos:
Passo 5
Perceba que
aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar esses termos:
Agora, a expressão está muito mais simples e elimina a indeterminação que tínhamos antes.
Passo 6
Finalmente, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é igual a
.
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em
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