Calcule os seguintes limites: lim x -8 raiz1-x-32+raiz[3]x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de da função . Isso envolve conceitos de Cálculo, mais especificamente, de limites. Para resolver esse limite, vamos precisar avaliar a substituição direta e, se necessário, aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 2

Vamos tentar substituir raiz1 - (-8) - 3 = raiz9 - 3 = 3 - 3 = 0 por 2 + raiz[3]-8 = 2 + (-2) = 0 na função para verificar se conseguimos encontrar o limite diretamente:
Ao substituir, obtemos , uma forma indeterminada. Isso significa que não conseguimos encontrar o limite dessa maneira e precisamos de outra estratégia.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , podemos usar a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que, se resulta em ou , podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Numerador:
    f(x) = raiz1 - x - 3
    A derivada de f'(x) = ddx raiz1 - x = -12raiz1 - x é:
    g(x) = 2 + raiz[3]x
  • Denominador:
    g'(x) = ddx raiz[3]x = 13x^2/3
    A derivada de é:

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hospital, substituímos pelas derivadas:
limx to -8 f'(x)g'(x) = limx to -8 -12raiz1 - x13x^2/3 = limx to -8 -12raiz1 - x cdot 3x^2/31 = limx to -8 -3x^2/32raiz1 - x

Passo 6

Agora, substituímos x^2/3 = (-8)^2/3 = ( raiz[3]-8 )^2 = (-2)^2 = 4 por raiz1 - (-8) = raiz9 = 3 na expressão resultante:
-3 cdot 42 cdot 3 = -126 = -2
Substituindo na expressão:

Resposta

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