Prove a partir da definição de limite que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites e continuidade de funções. Para resolver, vamos usar a definição de limite, que envolve trabalhar com os conceitos de
(epsilon) e
(delta).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
. Na definição de limite, isso quer dizer que para todo número pequeno
, existe um número
tal que, se
, então
.
Passo 3
Agora, precisamos achar uma relação entre
e
que nos ajude a encontrar um
em termos de
. Vamos usar a identidade trigonométrica:
Mas para simplificar, podemos usar uma desigualdade mais direta baseada na derivada da função cosseno, que nos diz que:
Isso funciona porque a derivada de
é
, e sabemos que
para todo
.
Passo 4
Com essa desigualdade, podemos garantir que se
, então:
Queremos que
, então basta escolher
. Assim, se
, teremos:
Resposta
Portanto, provamos que
.
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