Prove a partir da definição de limite que: lim x a cos x=cos a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite de cos x quando x se aproxima de a é igual a cos a. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites e continuidade de funções. Para resolver, vamos usar a definição de limite, que envolve trabalhar com os conceitos de varepsilon (epsilon) e de (delta).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que limx to a cos x = cos a. Na definição de limite, isso quer dizer que para todo número pequeno varepsilon > 0, existe um número de 0 tal que, se 0 < |x - a| < de, então |cos x - cos a| < varepsilon.

Passo 3

Agora, precisamos achar uma relação entre |cos x - cos a| e |x - a| que nos ajude a encontrar um de em termos de varepsilon. Vamos usar a identidade trigonométrica:
|cos x - cos a| = | -2 sin(x + a2) sin(x - a2) |
Mas para simplificar, podemos usar uma desigualdade mais direta baseada na derivada da função cosseno, que nos diz que:
|cos x - cos a| <= |x - a|
Isso funciona porque a derivada de cos x é -sin x, e sabemos que |sin x| <= 1 para todo x.

Passo 4

Com essa desigualdade, podemos garantir que se |x - a| < de, então:
|cos x - cos a| <= |x - a| < de
Queremos que |cos x - cos a| < varepsilon, então basta escolher de. Assim, se 0 < |x - a| < de, teremos:
|cos x - cos a| < varepsilon

Resposta

Portanto, provamos que limx a cos x = cos a.

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