Calcule os seguintes Limites: lim x infty(ln (2 x+1)-ln (x+2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Isso está no campo de Cálculo, especificamente estudando limites envolvendo funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e entender como funções se comportam quando cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma propriedade importante dos logaritmos: . Vou aplicar isso na expressão que temos.
Então, .

Passo 3

Agora, precisamos analisar o que acontece com a fração 2x + 1x + 2 = x(2 + 1x)x(1 + 2x) = 2 + 1x1 + 2x quando tende ao infinito. Para facilitar, podemos dividir o numerador e o denominador por :

Passo 4

À medida que 2 + 01 + 0 = 21 = 2 cresce sem limite, os termos e se tornam muito pequenos e tendem a zero. Então, a fração simplifica para:

Passo 5

Agora que sabemos que ln(2x+1x+2) approx ln(2) tende a 2 quando vai para o infinito, podemos substituir de volta na função logarítmica:

Resposta

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