Determine os seguintes limites:
(a) lim x +infty (x+1)^3x^3+1.

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x +infty (x+1)^3x^3+1. Esse exercício envolve o estudo de limites no cálculo, especificamente quando x tende ao infinito. Para resolver, vamos precisar conhecer como lidar com expressões polinomiais em limites.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador (x+1)^3. Usando a fórmula do cubo, temos:
(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na expressão do limite:
lim x +infty x^3 + 3x^2 + 3x + 1x^3 + 1

Passo 4

Para simplificar, dividimos cada termo do numerador e do denominador por x^3, que é o termo de maior grau:
lim x +infty 1 + 3x + 3x^2 + 1x^31 + 1x^3

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de cada fração quando x tende ao infinito:
  • 3x 0
  • 3x^2 0
  • 1x^3 0
Assim, a expressão simplifica para:
1 + 0 + 0 + 01 + 0 = 11

Resposta

O limite é igual a 1.

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