Calcule os seguintes limites: lim x +infty (x^9+3)^5(1-x^3)^15

Passo 1

Estamos lidando com um limite onde tende ao infinito de uma fração envolvendo potências de polinômios. Vamos usar conceitos de limites de funções racionais, focando nos termos de maior grau tanto no numerador quanto no denominador.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, temos (x^9 + 3)^5 approx x^9 times 5 = x^45 . O termo dominante aqui é (1 - x^3)^15 approx (-x^3)^15 = -x^45 , então podemos aproximar:
No denominador, temos . O termo dominante é , então podemos aproximar:
Isso ocorre porque .

Passo 3

Substituímos as aproximações dos termos dominantes na expressão original do limite:
limx +infty (x^9 + 3)^5(1 - x^3)^15 approx limx +infty x^45-x^45 = limx +infty (-1) = -1

Resposta

O limite é igual a .

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[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano R^2. Justifique a resposta.
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