Calcule os seguintes limites:
  1. lim x pm infty(raizx^2+x-x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da expressão raizx^2+x - x quando x tende a mais ou menos infinito. Isso envolve conceitos de limites em infinity e manipulação de expressões algébricas com radicais. Vamos precisar lembrar da forma de lidar com radicais e simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no caso quando x tende a mais infinito ( x +infty). Observamos que dentro da raiz quadrada, temos x^2 + x. Quando x é muito grande, o termo x^2 domina sobre o x, então podemos tentar simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por x para facilitar a análise.

Passo 3

Vamos racionalizar a expressão multiplicando e dividindo pela expressão conjugada raizx^2+x + x. Isso ajuda a eliminar o radical no numerador:
raizx^2+x - x = (raizx^2+x - x)(raizx^2+x + x)raizx^2+x + x = (x^2+x) - x^2raizx^2+x + x = xraizx^2+x + x

Passo 4

Agora, vamos dividir o numerador e o denominador por x:
xraizx^2+x + x = 1raiz1 + 1x + 1
Quando x +infty, o 1x tende a 0. Portanto:
1raiz1 + 0 + 1 = 11 + 1 = 12

Passo 5

Agora, vamos considerar o caso quando x tende a menos infinito ( x -infty). A manipulação é semelhante, mas precisamos lembrar que raizx^2 = |x|. Como x está indo para o negativo, raizx^2 = -x.
Aplicando isso na expressão:
raizx^2+x - x = raizx^2(1 + 1x) - x = |x|raiz1 + 1x - x = -xraiz1 + 1x - x
Dividindo por x:
-xraiz1 + 1x - xx = -raiz1 + 1x - 1
Quando x -infty, 1x 0:
-raiz1 + 0 - 1 = -1 - 1 = -2

Resposta

Portanto, os limites são:
lim x +infty(raizx^2+x-x) = 12
e
lim x -infty(raizx^2+x-x) = -2

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