Calcule os seguintes limites:
-
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da expressão
quando
tende a mais ou menos infinito. Isso envolve conceitos de limites em infinity e manipulação de expressões algébricas com radicais. Vamos precisar lembrar da forma de lidar com radicais e simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no caso quando
tende a mais infinito (
). Observamos que dentro da raiz quadrada, temos
. Quando
é muito grande, o termo
domina sobre o
, então podemos tentar simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por
para facilitar a análise.
Passo 3
Vamos racionalizar a expressão multiplicando e dividindo pela expressão conjugada
. Isso ajuda a eliminar o radical no numerador:
Passo 4
Agora, vamos dividir o numerador e o denominador por
:
Quando
, o
tende a 0. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos considerar o caso quando
tende a menos infinito (
). A manipulação é semelhante, mas precisamos lembrar que
. Como
está indo para o negativo,
.
Aplicando isso na expressão:
Dividindo por
:
Quando
,
:
Resposta
Portanto, os limites são:
e
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
2. .
2.
Seja uma função
derivável até ordem 2 no intervalo
tal que
. Mostre que existe um ponto
satisfazendo: - I
-
-
- 1
-
-
-
- -1
- 0
- 1
Calcule os seguintes limites:
3. .
3.