Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao estudo de limites em Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento das funções
e se comporta quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0.
- Numerador:
. Sabemos que quando é muito pequeno, aproximadamente é igual a . - Denominador: . Também sabemos que para
próximo de 0, é aproximadamente igual a .
Então, substituindo essas aproximações, temos:
Isso sugere que o limite pode ser igual a 1, mas para ter certeza, vamos usar uma técnica mais precisa.
Passo 3
Como estamos lidando com um limite que resulta em uma forma indeterminada
quando
se aproxima de 0, podemos aplicar a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que, se
resulta em
ou
, então:
desde que o limite à direita exista.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hospital, temos:
Agora, substituímos
por 0:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
O custo diário de produção de uma indústria de aparelhos de telefones é dado pela função
2500 , onde
é o custo em dólares e
é o número de unidades fabricadas.
Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo?
Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo?
Calcule os seguintes limites:
Efetue as operações abaixo:
Calcule os seguintes limites: