Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao estudo de limites em Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento das funções e se comporta quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 0.
  • Numerador: . Sabemos que quando é muito pequeno, aproximadamente é igual a .
  • Denominador: . Também sabemos que para próximo de 0, é aproximadamente igual a .
Então, substituindo essas aproximações, temos:
Isso sugere que o limite pode ser igual a 1, mas para ter certeza, vamos usar uma técnica mais precisa.

Passo 3

Como estamos lidando com um limite que resulta em uma forma indeterminada quando se aproxima de 0, podemos aplicar a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que, se resulta em ou , então:
desde que o limite à direita exista.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hospital, temos:
Agora, substituímos por 0:

Resposta

O limite é igual a .

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O custo diário de produção de uma indústria de aparelhos de telefones é dado pela função 2500 , onde é o custo em dólares e é o número de unidades fabricadas.
Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo?
Calcule os seguintes limites:
Efetue as operações abaixo:
Calcule os seguintes limites: