Calcule os seguintes limites:
lim x 0^+ ln (1+x)sen(x)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao estudo de limites em Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento das funções e se comporta quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando ln(1+x)sen(x) approx xx = 1 se aproxima de 0.
  • Numerador: . Sabemos que quando é muito pequeno, aproximadamente é igual a .
  • Denominador: . Também sabemos que para próximo de 0, é aproximadamente igual a .
Então, substituindo essas aproximações, temos:
Isso sugere que o limite pode ser igual a 1, mas para ter certeza, vamos usar uma técnica mais precisa.

Passo 3

Como estamos lidando com um limite que resulta em uma forma indeterminada limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) quando se aproxima de 0, podemos aplicar a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que, se resulta em ou , então:
desde que o limite à direita exista.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
  • Derivada do numerador: f'(x) = 11+x
g'(x) = cos(x)
  • Derivada do denominador:

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hospital, temos:
Agora, substituímos lim x 0^+ ln (1+x)sen(x) = lim x 0^+ 11+xcos(x) por 0:
11+0cos(0) = 11 = 1

Resposta

O limite é igual a .

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