Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o seguinte limite quando
se aproxima de 0:
Aqui, estamos lidando com exponenciais e limites, que são tópicos de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar o logaritmo natural para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando o logaritmo natural. Por que? Porque trabalhar com potências pode ser complicado, mas com logaritmos, facilita a manipulação. Então, vamos chamar o limite de
e aplicar o logaritmo natural:
Agora, nosso objetivo é encontrar
e depois exponenciar para achar
.
Passo 3
Vamos simplificar
usando a expansão de Taylor para
em torno de 0:
Então,
Agora, aplicamos o logaritmo natural na expressão simplificada:
Para valores pequenos de
, podemos usar a aproximação
:
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação na expressão de
:
Finalmente, para encontrar
, aplicamos a função exponencial:
Resposta
O limite vale
.