Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o seguinte limite quando se aproxima de 0:
Aqui, estamos lidando com exponenciais e limites, que são tópicos de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar o logaritmo natural para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando o logaritmo natural. Por que? Porque trabalhar com potências pode ser complicado, mas com logaritmos, facilita a manipulação. Então, vamos chamar o limite de e aplicar o logaritmo natural:
Agora, nosso objetivo é encontrar e depois exponenciar para achar .

Passo 3

Vamos simplificar usando a expansão de Taylor para em torno de 0:
Então,
Agora, aplicamos o logaritmo natural na expressão simplificada:
Para valores pequenos de , podemos usar a aproximação :

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão de :
Finalmente, para encontrar , aplicamos a função exponencial:

Resposta

O limite vale .

Exercícios relacionados

Resolvendo em IR a inquação quociente
a) ou
b) ou
c) ou
d) ou
e) ou
Efetue as operações abaixo:
O custo diário de produção de uma indústria de aparelhos de telefones é dado pela função 2500 , onde é o custo em dólares e é o número de unidades fabricadas.
Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo?
Calcule os seguintes limites: