Calcule os seguintes limites:
lim x 0(e^x+x)^1 / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o seguinte limite quando limx 0(e^x + x)^1 / x se aproxima de 0:
Aqui, estamos lidando com exponenciais e limites, que são tópicos de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar o logaritmo natural para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando o logaritmo natural. Por que? Porque trabalhar com potências pode ser complicado, mas com logaritmos, facilita a manipulação. Então, vamos chamar o limite de ln(L) = limx 0 ln(e^x + x)x e aplicar o logaritmo natural:
Agora, nosso objetivo é encontrar e depois exponenciar para achar .

Passo 3

Vamos simplificar e^x = 1 + x + x^22 + cdots usando a expansão de Taylor para e^x + x = (1 + x + x^22 + cdots) + x = 1 + 2x + x^22 + cdots em torno de 0:
ln(e^x + x) = ln(1 + 2x + x^22 + cdots)
Então,
ln(1 + 2x + x^22) approx 2x + x^22 - (2x)^22 = 2x + x^22 - 2x^2 = 2x - 3x^22
Agora, aplicamos o logaritmo natural na expressão simplificada:
Para valores pequenos de , podemos usar a aproximação :

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão de ln(L) = limx 0 2x - 3x^22x = limx 0 (2 - 3x2) = 2 :
L = e^ln(L) = e^2
Finalmente, para encontrar , aplicamos a função exponencial:

Resposta

O limite vale .

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