O custo diário de produção de uma indústria de aparelhos de telefones é dado pela função C(x) = x^2 - 86x + 2500 , onde C(x) é o custo em dólares e x é o número de unidades fabricadas.
Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão quer. A gente tem uma função que representa o custo diário de produzir telefones: , onde C(x) é o custo em dólares e x é o número de aparelhos fabricados por dia. A pergunta é: quantos aparelhos devemos produzir diariamente para que o custo seja o menor possível?
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas e descobrir como encontrar o mínimo dessa função.

Passo 2

A função C(x) é uma função quadrática, que tem a forma geral . No nosso caso, , e .
Como o coeficiente de x^2 (que é a) é positivo ( ), sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para cima. Isso significa que existe um ponto mais baixo na parábola, que representa o custo mínimo.

Passo 3

Para encontrar esse ponto mínimo, usamos a fórmula do vértice da parábola. A fórmula para a coordenada x do vértice é:
Substituindo os valores que temos:
Isso significa que o custo mínimo ocorre quando aparelhos são produzidos por dia.

Resposta

Devem ser produzidos 43 aparelhos diariamente para que o custo seja mínimo.

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