Prove a partir da definição de limite que:
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado: precisamos provar, usando a definição de limite, que quando
se aproxima de 3, o valor de
se aproxima de 27. Aqui, estamos trabalhando com limites em função polinomial, e vamos utilizar a definição formal de limite, que envolve os conceitos de
(epsilon) e
(delta).
Passo 2
A definição de limite diz que, para todo
, existe um
tal que, se
, então
. Neste caso,
,
, e
.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar uma expressão para
em termos de
que satisfaça a condição
. Vamos manipular a expressão:
Para simplificar, podemos restringir
, o que implica que
. Assim, podemos estimar
:
Portanto:
Para garantir que
, basta que:
Passo 4
Agora, escolhemos
como o mínimo entre 1 e
:
Assim, sempre que
, teremos
, o que confirma, pela definição de limite, que:
Resposta
Portanto, demonstramos que
de acordo com a definição de limite.
Exercícios relacionados
Prove a partir da definição de limite que:
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites: