Prove a partir da definição de limite que: lim x 3 x^3=27

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado: precisamos provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 3, o valor de se aproxima de 27. Aqui, estamos trabalhando com limites em função polinomial, e vamos utilizar a definição formal de limite, que envolve os conceitos de (epsilon) e (delta).

Passo 2

A definição de limite diz que, para todo , existe um tal que, se , então . Neste caso, , , e .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma expressão para |x^3 - 27| = |x - 3||x^2 + 3x + 9| em termos de x^2 + 3x + 9 <= 4^2 + 3 times 4 + 9 = 16 + 12 + 9 = 37 que satisfaça a condição |x^3 - 27| <= 37 |x - 3| . Vamos manipular a expressão:
37 |x - 3| < epsilon implies |x - 3| < epsilon37
Para simplificar, podemos restringir , o que implica que . Assim, podemos estimar :
Portanto:
Para garantir que , basta que:

Passo 4

Agora, escolhemos de como o mínimo entre 1 e :
Assim, sempre que , teremos , o que confirma, pela definição de limite, que:

Resposta

Portanto, demonstramos que de acordo com a definição de limite.

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