Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 0 para a expressão
. Esse problema está relacionado ao cálculo de limites e às propriedades de funções radicais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e aplicar a regra de l’Hôpital quando nos deparamos com formas indeterminadas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
Encontramos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos de uma técnica para resolver esse limite. A regra de l’Hôpital é ideal para esses casos.
Passo 3
A regra de l’Hôpital nos diz que se temos um limite da forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Passo 4
Calculando as derivadas:
- Derivada do numerador:
Então, a derivada total do numerador é:
- Derivada do denominador:
Então, a derivada total do denominador é:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de l’Hôpital substituindo o limite original pelas derivadas:
Simplificando:
Resposta
O limite é
.
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(
e
são inteiros positivos)