Calcule os seguintes limites: lim x 0 raiz1+x-raiz1-xraiz[3]1+x-raiz[3]1-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite quando se aproxima de 0 para a expressão . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites e às propriedades de funções radicais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e aplicar a regra de l’Hôpital quando nos deparamos com formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos raiz1+0-raiz1-0raiz[3]1+0-raiz[3]1-0 = raiz1-raiz1raiz[3]1-raiz[3]1 = 00 diretamente na expressão:
Encontramos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos de uma técnica para resolver esse limite. A regra de l’Hôpital é ideal para esses casos.

Passo 3

A regra de l’Hôpital nos diz que se temos um limite da forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:

Passo 4

Calculando as derivadas:
  1. Derivada do numerador:
ddx raiz1+x = 12raiz1+x
ddx raiz1-x = -12raiz1-x
Então, a derivada total do numerador é:
12raiz1+x + 12raiz1-x = 12 ( 1raiz1+x + 1raiz1-x )
  1. Derivada do denominador:
ddx raiz[3]1+x = 13(1+x)^2/3
ddx raiz[3]1-x = -13(1-x)^2/3
Então, a derivada total do denominador é:
13(1+x)^2/3 + 13(1-x)^2/3 = 13 ( 1(1+x)^2/3 + 1(1-x)^2/3 )

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de l’Hôpital substituindo o limite original pelas derivadas:
limx to 0 12 ( 1raiz1+x + 1raiz1-x )13 ( 1(1+x)^2/3 + 1(1-x)^2/3 )
Simplificando:
limx to 0 12 (2)13 (2) = 12 times 2 div ( 13 times 2 ) = 11 div 23 = 32

Resposta

O limite é .

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