Calcule os seguintes Limites: lim x 1 x^m-1x^n-1 ( m e n são inteiros positivos)

Passo 1

Beleza, você quer calcular o limite de quando se aproxima de 1, onde e são números inteiros positivos. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com expressões que resultam em indeterminações, ou seja, formas que não nos dão uma resposta direta.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de 1^m - 11^n - 1 = 1 - 11 - 1 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Então, temos uma indeterminação do tipo , que significa que não podemos encontrar o limite simplesmente substituindo os valores.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma indeterminação , uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite da nova fração.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador em relação a limx 1 m x^m-1n x^n-1 = mn limx 1 x^m - n :
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do limite:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite limx 1 x^m - n = 1 . Sabemos que qualquer número elevado a uma potência quando se aproxima de 1 vai resultar em 1:

Resposta

Portanto, o limite .

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