Resolvendo em IR a inquação quociente (x^2 - 5x) / (2x - 4) < 0
a) S = {x em R | x > 0} ou 2 < x < 7
b) S = {x em R | x < 0} ou 2 < x < 5
c) S = {x em R | x > 0} ou 2 <= x <= 5
d) S = {x em R | x < 0} ou 3 < x < 5
e) S = {x em R | x <= 0} ou 2 <= x <= 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inquação . A gente vai precisar usar conhecimentos de inequações racionais, que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador. O objetivo é descobrir para quais valores de a fração fica negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores que fazem o numerador e o denominador serem zero, porque esses pontos dividem o eixo dos números em intervalos que vamos analisar.
Numerador:
Fatorando:
Então, as raízes são:
Denominador:
Resolvendo:

Passo 3

Agora, identificamos os pontos críticos: , e . Esses pontos dividem a linha dos números reais em quatro intervalos:
Vamos analisar o sinal da fração em cada intervalo.

Passo 4

Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e verificamos se a fração é positiva ou negativa.
  1. Para (por exemplo, ):
    A fração é negativa.
  2. Para (por exemplo, ):
    A fração é positiva.
  3. Para (por exemplo, ):
    A fração é negativa.
  4. Para (por exemplo, ):
    A fração é positiva.

Passo 5

Agora, vamos resumir os sinais encontrados:
  • Negativo: e
  • Positivo: e
Como a inquação é , buscamos onde a fração é negativa. Além disso, devemos considerar se os pontos onde a fração é zero ou indefinida estão incluídos.
  • e tornam o numerador zero, então a fração é igual a zero. Como a desigualdade é estrita ( ), não incluímos esses pontos.
  • torna o denominador zero, a fração é indefinida, então não incluímos .

Resposta

A solução da inquação é:
Portanto, a alternativa correta é a opção e).

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