Calcule os seguintes limites:
partial^2partial x^2 Psi(x)=-k1^2 Psi(x) Psi(x)=A e^i k1 x+B e^-i k1 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que envolve derivadas parciais. A pergunta nos dá uma equação diferencial do tipo:
partial^2partial x^2 Psi(x) = -k1^2 Psi(x)
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem, que aparecem bastante em física e engenharia, especialmente quando lidamos com ondas e vibrações. Para resolver isso, vamos precisar saber como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais clara:
d^2Psi(x)dx^2 + k1^2 Psi(x) = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. A gente sabe que para resolver esse tipo de equação, podemos assumir uma solução da forma:
Psi(x) = e^lambda x

Passo 3

Vamos substituir essa forma de solução na equação diferencial para encontrar o valor de lambda:
d^2dx^2 e^lambda x + k1^2 e^lambda x = 0
Calculando as derivadas:
lambda^2 e^lambda x + k1^2 e^lambda x = 0
Podemos dividir ambos os lados por e^lambda x, que nunca é zero:
lambda^2 + k1^2 = 0

Passo 4

Agora, resolvemos para lambda:
lambda^2 = -k1^2
Tomando a raiz quadrada:
lambda = pm i k1
Aqui, i é a unidade imaginária, onde i^2 = -1.

Passo 5

Com os valores de lambda, nossa solução geral para a equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
Psi(x) = A e^i k1 x + B e^-i k1 x
Onde A e B são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais ou de contorno do problema específico.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Psi(x) = A e^i k1 x + B e^-i k1 x

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