Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que envolve derivadas parciais. A pergunta nos dá uma equação diferencial do tipo:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem, que aparecem bastante em física e engenharia, especialmente quando lidamos com ondas e vibrações. Para resolver isso, vamos precisar saber como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais clara:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. A gente sabe que para resolver esse tipo de equação, podemos assumir uma solução da forma:
Passo 3
Vamos substituir essa forma de solução na equação diferencial para encontrar o valor de
:
Calculando as derivadas:
Podemos dividir ambos os lados por
, que nunca é zero:
Passo 4
Agora, resolvemos para
:
Tomando a raiz quadrada:
Aqui,
é a unidade imaginária, onde
.
Passo 5
Com os valores de
, nossa solução geral para a equação diferencial é uma combinação linear das soluções encontradas:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais ou de contorno do problema específico.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: