Dado o sistema de um plano inclinado com ângulo alpha, um bloco 2 de massa M2 sobre o plano sofrendo Força de atrito, ligado a uma polia que também liga um bloco 1 pendurado de massa m1 sofrendo força de gravidade. Onde consideramos o movimento de uma polia de raio Re momento de inércia I devido ao atrito com a corda, e também uma força de atrito Fat(coeficiente de fricção vezes N) sendo Na força normal entre o bloco 2 e o plano inclinado. Calcule a aceleração do sistema. No limite (coeficiente de friç̧ão tendendo a 0, I tendendo a 0) recuperamos o problema clássico do plano inclinado.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos dois blocos ligados por uma corda passando por uma polia. O bloco 2, de massa M2, está sobre um plano inclinado com um ângulo alpha, e ele sente uma força de atrito. O bloco 1, de massa m1, está pendurado e só sente a força da gravidade. A polia tem raio Re e momento de inércia I, além de haver uma força de atrito Fat entre o bloco 2 e o plano. Nosso objetivo é calcular a aceleração do sistema usando as Leis de Newton e considerando todas essas forças. Vamos precisar entender de forças, torque e como relacionar a aceleração linear com a angular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam em cada bloco. No bloco M2 no plano inclinado, temos:
  • A força da gravidade na direção do plano: M2 g sin alpha
  • A força de atrito: Fat = mu N, onde N é a força normal
  • A tensão da corda puxando para cima: T
No bloco m1 pendurado, temos:
  • A força da gravidade: m1 g para baixo
  • A tensão da corda: T para cima

Passo 3

Vamos aplicar a segunda Lei de Newton para cada bloco. Para o bloco M2 no plano inclinado:
M2 a = M2 g sin alpha - T - Fat
Substituindo Fat por mu N e sabendo que N = M2 g cos alpha:
M2 a = M2 g sin alpha - T - mu M2 g cos alpha
Para o bloco m1 pendurado:
m1 a = m1 g - T

Passo 4

Agora, vamos considerar a polia. A polia está girando por causa da tensão na corda, o que gera um torque. Esse torque está relacionado à aceleração angular da polia. A relação entre a aceleração linear a e a aceleração angular alphap da polia é:
a = alphap Re
O torque tau na polia é dado por:
tau = T Re
De acordo com a segunda Lei de Newton para rotação:
tau = I alphap
Substituindo alphap por aRe:
T Re = I aRe
Portanto, a tensão T é:
T = I aRe^2

Passo 5

Vamos substituir a expressão de T obtida na equação do bloco m1:
m1 a = m1 g - I aRe^2
Isolando a:
a ( m1 + IRe^2 ) = m1 g
a = m1 gm1 + IRe^2
Agora, substituímos T na equação do bloco M2:
M2 a = M2 g sin alpha - I aRe^2 - mu M2 g cos alpha
Isolando a:
a ( M2 + IRe^2 ) = M2 g sin alpha - mu M2 g cos alpha
a = M2 g sin alpha - mu M2 g cos alphaM2 + IRe^2

Passo 6

Para encontrar a aceleração do sistema, precisamos juntar as duas expressões de a obtidas. Somando as equações dos dois blocos e considerando que a aceleração é a mesma:
a = (M2 sin alpha + m1) g - mu M2 cos alphaM2 + m1 + 2IRe^2
Essa é a expressão geral para a aceleração do sistema considerando atrito e o momento de inércia da polia.

Resposta

A aceleração do sistema é:
a = (M2 sin alpha + m1) g - mu M2 cos alphaM2 + m1 + dfrac2IRe^2

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