Dado o sistema de um plano inclinado com ângulo alpha, um bloco 2 de massa M2 sobre o plano sofrendo Força de atrito, ligado a uma polia que também liga um bloco 1 pendurado de massa m1 sofrendo força de gravidade. Onde consideramos o movimento de uma polia de raio Re momento de inércia I devido ao atrito com a corda, e também uma força de atrito Fat(coeficiente de fricção vezes N) sendo Na força normal entre o bloco 2 e o plano inclinado. Calcule a aceleração do sistema. No limite (coeficiente de friç̧ão tendendo a 0, I tendendo a 0) recuperamos o problema clássico do plano inclinado.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos dois blocos ligados por uma corda passando por uma polia. O bloco 2, de massa
, está sobre um plano inclinado com um ângulo
, e ele sente uma força de atrito. O bloco 1, de massa
, está pendurado e só sente a força da gravidade. A polia tem raio
e momento de inércia
, além de haver uma força de atrito
entre o bloco 2 e o plano. Nosso objetivo é calcular a aceleração do sistema usando as Leis de Newton e considerando todas essas forças. Vamos precisar entender de forças, torque e como relacionar a aceleração linear com a angular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam em cada bloco. No bloco
no plano inclinado, temos:
- A força da gravidade na direção do plano:
- A força de atrito:
, onde é a força normal - A tensão da corda puxando para cima:
No bloco
pendurado, temos:
- A força da gravidade:
para baixo - A tensão da corda:
para cima
Passo 3
Vamos aplicar a segunda Lei de Newton para cada bloco. Para o bloco
no plano inclinado:
Substituindo
por
e sabendo que
:
Para o bloco
pendurado:
Passo 4
Agora, vamos considerar a polia. A polia está girando por causa da tensão na corda, o que gera um torque. Esse torque está relacionado à aceleração angular da polia. A relação entre a aceleração linear
e a aceleração angular
da polia é:
O torque
na polia é dado por:
De acordo com a segunda Lei de Newton para rotação:
Substituindo
por
:
Portanto, a tensão
é:
Passo 5
Vamos substituir a expressão de
obtida na equação do bloco
:
Isolando
:
Agora, substituímos
na equação do bloco
:
Isolando
:
Passo 6
Para encontrar a aceleração do sistema, precisamos juntar as duas expressões de
obtidas. Somando as equações dos dois blocos e considerando que a aceleração é a mesma:
Essa é a expressão geral para a aceleração do sistema considerando atrito e o momento de inércia da polia.
Resposta
A aceleração do sistema é: