PARA OS ALUNOS DE MF:
Calcule: lim x +infty raizx^2+x+1x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando tende a mais infinito da expressão . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites envolvendo funções polinomiais e radicais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes quadradas e polinômios quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que está dentro da raiz quadrada: . Quando cresce bem grande (tende a ), os termos de menor grau (como e ) ficam menos importantes comparados com . Mas para manipular isso direitinho, vamos fatorar o termo de maior grau, que é , debaixo da raiz.

Passo 3

Fatorando raizx^2 + x + 1 = raizx^2 (1 + 1x + 1x^2) = |x| raiz1 + 1x + 1x^2 debaixo da raiz, a expressão fica:
x raiz1 + 1x + 1x^2
Como estamos considerando tendendo a , é positivo, então . Assim, a expressão simplifica para:

Passo 4

Agora, substituímos essa simplifica��ão de volta na nossa expressão original:
raizx^2 + x + 1x + 1 = x raiz1 + 1x + 1x^2x + 1
Podemos dividir numerador e denominador por x raiz1 + 1x + 1x^2x + 1 = raiz1 + 1x + 1x^21 + 1x :

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando raiz1 + 0 + 0 = 1 tende a 1 + 0 = 1 . Os termos e tendem a zero. Então, a expressão dentro da raiz se aproxima de 1:
E no denominador:

Passo 6

Portanto, o limite da expressão toda fica:
11 = 1

Resposta

lim x +infty raizx^2+x+1x+1 = 1

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