Calcule os seguintes limites trigonométricos: lim x 0 sen(3 x)5 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite trigonométrico juntos! O enunciado pede para encontrar o limite de sin(3x)5x quando x se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de limites e funções trigonométricas, especialmente o limite básico limx to 0 sin(x)x = 1. Vamos precisar entender como manipular essa expressão para aplicar esse conceito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão original para facilitar a aplicação do limite conhecido. Observamos que temos sin(3x) no numerador. Podemos fatorar o 3 para dentro da função seno:
sin(3x)5x = 3 sin(3x)3 cdot 5x = 3 sin(3x)15x

Passo 3

Agora, vamos ajustar a expressão para ter sin(u)u, onde u = 3x. Assim, substituímos u na expressão:
3 sin(3x)15x = 315 cdot sin(u)u onde u = 3x

Passo 4

Sabemos que quando x se aproxima de 0, u = 3x também se aproxima de 0. Portanto, podemos aplicar o limite conhecido limu to 0 sin(u)u = 1:
315 cdot limu to 0 sin(u)u = 315 cdot 1 = 315

Resposta

O limite lim x 0 sin(3x)5x é igual a 315, que simplifica para 15.

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