Determine, quando possível, as assíntotas horizontais e verticais das funções dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a limites e comportamento das funções. Precisamos lembrar como identificar assíntotas analisando o comportamento da função quando
vai para infinito ou quando o denominador se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. O denominador
pode ser fatorado:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero e o numerador não é zero. Ou seja, precisamos encontrar os valores de
que tornam
.
Resolvendo:
Então, possíveis assíntotas verticais em
e
.
Passo 4
Vamos verificar se
e
são mesmo assíntotas verticais analisando os limites:
Para
:
Sabemos que quando
está próximo de 0, então:
Quando
se aproxima de 0, o denominador tende a 0, fazendo o limite tender ao infinito. Logo,
é uma assíntota vertical.
Para
:
Aqui, é um número real não zero, e o denominador tende a 0. Assim, o limite também tende ao infinito, confirmando que
é outra assíntota vertical.
Passo 5
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando
tende para
ou
. Calculamos os limites:
Para
:
Sabemos que oscila entre -1 e 1, enquanto o denominador cresce sem limite positivo. Portanto, o limite é 0.
Para
:
Novamente, oscila entre -1 e 1, e o denominador cresce sem limite negativo. O limite também é 0.
Resposta
A funç��o possui duas assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites trigonométricos:
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Calcule os seguintes limites trigonométricos:
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Determine, quando possível, as assíntotas horizontais e verticais das funções dadas: