Determine, quando possível, as assíntotas horizontais e verticais das funções dadas: f(x) = sen(x) / (x^3 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a limites e comportamento das funções. Precisamos lembrar como identificar assíntotas analisando o comportamento da função quando vai para infinito ou quando o denominador se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. O denominador pode ser fatorado:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero e o numerador não é zero. Ou seja, precisamos encontrar os valores de que tornam .
Resolvendo:
Então, possíveis assíntotas verticais em e .

Passo 4

Vamos verificar se e são mesmo assíntotas verticais analisando os limites:
Para :
Sabemos que quando está próximo de 0, então:
Quando se aproxima de 0, o denominador tende a 0, fazendo o limite tender ao infinito. Logo, é uma assíntota vertical.
Para :
Aqui, é um número real não zero, e o denominador tende a 0. Assim, o limite também tende ao infinito, confirmando que é outra assíntota vertical.

Passo 5

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando tende para ou . Calculamos os limites:
Para :
Sabemos que oscila entre -1 e 1, enquanto o denominador cresce sem limite positivo. Portanto, o limite é 0.
Para :
Novamente, oscila entre -1 e 1, e o denominador cresce sem limite negativo. O limite também é 0.

Resposta

A funç��o possui duas assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em .

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Determine, quando possível, as assíntotas horizontais e verticais das funções dadas: f(x) = sen(x) / (x^3 - x^2)