Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível: (k) lim x 0(1+3 tg^2(x))^cotg^2(x)

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Aqui, estamos trabalhando com limites notáveis e funções trigonométricas como a tangente ( ) e a cotangente ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de 0 e aplicar algumas propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Sabemos que quando tan(x) approx x quando x to 0 é bem pequeno, tan^2(x) approx x^2 é aproximadamente igual a . Então, podemos substituir por :
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos olhar para a cotangente. A cotangente é o inverso da tangente:
cot(x) = 1tan(x)
Então, também temos que quando cot^2(x) approx 1x^2 é pequeno,

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão original, ficamos com:
(1 + 3 tan^2(x))^cot^2(x) approx (1 + 3x^2)^1x^2

Passo 5

Agora, precisamos lembrar de um limite notável que é:
limx to 0 (1 + a x^2)^1x^2 = e^a
Aqui, limx to 0 (1 + 3x^2)^1x^2 = e^3 . Então, aplicando essa regra:

Resposta

O limite é .

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