Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível: (i) lim x pi2(sen^2 x+2 cos ^2 x)^sec ^2 x.

Passo 1

Beleza, então temos que calcular o limite . Para resolver isso, vamos usar limites notáveis e propriedades das funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar que e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite: sin^2 x + 2 cos^2 x = 1 + cos^2 x . Sabemos que limx pi2 (1 + cos^2 x)^sec^2 x , então podemos reescrever a expressão como:
Isso simplifica nosso limite para:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cada parte quando limx to a [f(x)]^g(x) = e^limx to a (f(x) - 1)g(x) se aproxima de :
  • , então tende a 0.
  • , então tende ao infinito, já que estamos dividindo 1 por um número que está se aproximando de 0.
Portanto, temos uma forma do tipo , que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos usar a propriedade:
Essa propriedade nos ajuda a transformar a expressão em algo que podemos calcular.

Passo 4

Aplicando a propriedade mencionada:
limx pi2 (1 + cos^2 x)^sec^2 x = e^limx pi2 cos^2 x cdot sec^2 x
Simplificando cos^2 x cdot sec^2 x = cos^2 x cdot (1cos x)^2 = cos^2 x cdot 1cos^2 x = 1 , temos:

Passo 5

Agora, substituindo de volta na expressão do limite:
e^limx pi2 1 = e^1 = e

Resposta

O limite é .

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