Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível: (i)
.
Passo 1
Beleza, então temos que calcular o limite
. Para resolver isso, vamos usar limites notáveis e propriedades das funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar que
e algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite:
. Sabemos que
, então podemos reescrever a expressão como:
Isso simplifica nosso limite para:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de cada parte quando
se aproxima de
:
-
, então tende a 0. -
, então tende ao infinito, já que estamos dividindo 1 por um número que está se aproximando de 0.
Portanto, temos uma forma do tipo
, que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos usar a propriedade:
Essa propriedade nos ajuda a transformar a expressão em algo que podemos calcular.
Passo 4
Aplicando a propriedade mencionada:
Simplificando
, temos:
Passo 5
Agora, substituindo de volta na expressão do limite:
Resposta
O limite é
.