Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível: (n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando
se aproxima de 1 para a expressão
. Isso envolve conhecimentos de limites, especificamente usando limites notáveis. Vamos precisar entender como as funções exponenciais se comportam perto de certos pontos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão para ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada
, então precisamos de uma técnica para resolver isso. Uma maneira comum é usar a regra de L’Hôpital, mas como o enunciado pede para usar limites notáveis, vamos seguir por essa estrada.
Passo 3
Sabemos que quando
se aproxima de 0,
se aproxima de
. Ou seja:
No nosso caso, vamos identificar
nas duas partes da fração.
Passo 4
Vamos definir
no numerador e
no denominador. Quando
se aproxima de 1:
Então, podemos reescrever a expressão original dividindo e multiplicando por
e
:
Passo 5
Aplicando o limite:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Simplificando
:
Os termos
se cancelam.
Resposta
O limite é
.