Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível: (n) lim x 1[e^(2 x-2)-1e^(5 x-5)-1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 1 para a expressão . Isso envolve conhecimentos de limites, especificamente usando limites notáveis. Vamos precisar entender como as funções exponenciais se comportam perto de certos pontos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir e^2(1)-2 - 1e^5(1)-5 - 1 = e^0 - 1e^0 - 1 = 1 - 11 - 1 = 00 na expressão para ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada , então precisamos de uma técnica para resolver isso. Uma maneira comum é usar a regra de L’Hôpital, mas como o enunciado pede para usar limites notáveis, vamos seguir por essa estrada.

Passo 3

Sabemos que quando limu to 0 e^u - 1u = 1 se aproxima de 0, se aproxima de . Ou seja:
No nosso caso, vamos identificar nas duas partes da fração.

Passo 4

Vamos definir u = 2(1) - 2 = 0 e v = 5(1) - 5 = 0 no numerador e e^u - 1e^v - 1 = e^u - 1u cdot uv cdot ve^v - 1 no denominador. Quando se aproxima de 1:
Então, podemos reescrever a expressão original dividindo e multiplicando por e :

Passo 5

Aplicando o limite:
limx to 1 e^u - 1u = 1 e limx to 1 ve^v - 1 = 1
Então, a expressão fica:
1 cdot limx to 1 uv cdot 1 = limx to 1 2x - 25x - 5

Passo 6

Simplificando 2(x - 1)5(x - 1) = 25 :
Os termos se cancelam.

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados