Use a definição de continuidade para decidir se a função f(x)= 1-e^3 sin xsin (2 x), & se x <= 0 x-lim x +infty(raizx+raizx-raizx+1), & se x>0 é contínua em x=0. Caso conclua que a função não é contínua em 0 classifique essa descontinuidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisa verificar se ela é contínua em . A matéria aqui é continuidade de funções, que basicamente analisa se o gráfico da função é “sem quebras” naquele ponto específico. Para resolver isso, vamos usar a definição de continuidade, que envolve verificar o limite da função à esquerda e à direita de e comparar com o valor da função em .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor da função em f(x) = 1 - e^3 sin xsin(2x), & se x <= 0 x - limx +infty ( raizx + raizx - raizx + 1 ), & se x > 0 . Olhando a definição da função:
f(0) = 1 - e^3 sin 0sin(2 cdot 0) = 1 - e^00 = 1 - 10 = 00
Como está na primeira parte ( ), substituímos :
Aqui, temos uma forma indeterminada , o que indica que precisamos analisar melhor o limite.

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x) = 1 - e^3 sin xsin(2x) quando f(x) approx 1 - e^3x2x se aproxima de 0 pela esquerda ( e^3x approx 1 + 3x + (3x)^22 + dots ) e pela direita ( f(x) approx 1 - (1 + 3x + 9x^22 + dots)2x = -3x - 9x^22 - dots2x = -3x2x = -32 ).
Lado Esquerdo ( f(x) = x - limx +infty ( raizx + raizx - raizx + 1 ) ):
Para L = limx +infty ( raizx + raizx - raizx + 1 ) , a função é:
L = limx +infty ( raizx + raizx - raizx + 1 ) (raizx + raizx + raizx + 1)raizx + raizx + raizx + 1
Vamos simplificar essa expressão. Quando L = limx +infty (x + raizx) - (x + 1)raizx + raizx + raizx + 1 = limx +infty raizx - 1raizx + raizx + raizx + 1 , L approx limx +infty raizx2raizx = 12 e f(x) = x - 12 (usando a aproximação para ângulos pequenos). Então:
limx to 0^+ f(x) = 0 - 12 = -12
Agora, expandimos usando a série de Taylor:
Substituindo na expressão:
Portanto, o limite pela esquerda é .
Lado Direito ( ):
Para , a função é:
Primeiro, precisamos calcular o limite interno:
Vamos simplificar :
Isso resulta em:
Para grandes , e . Então:
Agora, voltando à função para :
Então, o limite quando :

Passo 4

Agora temos os dois limites:
limx to 0^- f(x) = -32 e limx to 0^+ f(x) = -12
Para a função ser contínua em -32 neq -12 , esses dois limites devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor da função em . Mas vimos que:
Além disso, o valor da função em não está bem definido (estamos com uma forma indeterminada, mas os limites não coincidem).

Passo 5

Como os limites laterais não são iguais, concluímos que a função não é contínua em . Agora, vamos classificar o tipo de descontinuidade.
Aqui, os limites laterais existem, mas são diferentes. Isso caracteriza uma descontinuidade de salto.

Resposta

A função não é contínua em e apresenta uma descontinuidade de salto nesse ponto.

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