calcule os seguintes logaritmos:
a) log2 32     b) log3 81
C)log25 125              d) logx (x+20)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses logaritmos que você mandou! O exercício pede para calcular quatro logaritmos diferentes, usando diferentes bases e até resolver uma equação logarítmica. Para isso, vamos precisar entender o que é um logaritmo e como ele funciona. Basicamente, um logaritmo responde a pergunta: “A que potência eu preciso elevar a base para chegar a determinado número?”

Passo 2

Vamos começar com o item a) $ \log_2 32 $.
Aqui, estamos procurando o expoente ao qual devemos elevar o número 2 para obter 32. Ou seja, queremos encontrar $ x $ tal que:
log2 32
Sabemos que:
x
Portanto:
2^x = 32

Passo 3

Agora, vamos para o item b) $ \log_3 81 $.
Estamos procurando o expoente para a base 3 que resulta em 81. Ou seja:
log3 81
Sabemos que:
3^x = 81
Então:
3^4 = 81

Passo 4

Vamos resolver o item c) $ \log_{25} 125 $.
Aqui, buscamos o expoente para a base 25 que resulta em 125:
log25 125
Primeiro, vamos reescrever 25 e 125 com a mesma base, se possível. Sabemos que:
25^x = 125
Substituindo na equação:
25 = 5^2 e 125 = 5^3
Como as bases são iguais, os expoentes devem ser iguais:
(5^2)^x = 5^3 Rightarrow 5^2x = 5^3
Portanto:
2x = 3 Rightarrow x = 32

Passo 5

Por fim, vamos resolver o item d) $ \log_x (x + 20) = 2 $.
Aqui, precisamos encontrar o valor de $ x $ que satisfaz a equação logarítmica. Vamos traduzir o logaritmo para sua forma exponencial:
logx (x + 20) = 2
Agora, vamos rearranjar a equação para formar uma equação quadrática:
x
Resolvendo essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
x^2 = x + 20
Isso nos dá duas soluções:
x^2 - x - 20 = 0
No entanto, como o logaritmo só está definido para bases positivas diferentes de 1 e para argumentos positivos, $ x = -4 $ não é uma solução válida. Portanto:
x = 1 pm raiz1 + 802 = 1 pm raiz812 = 1 pm 92

Resposta

a) $ \log_2 32 = 5 $
b) $ \log_3 81 = 4 $
c) $ \log_{25} 125 = \frac{3}{2} $
d) $ x = 5 $

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