calcule os seguintes logaritmos:
a) log2 32 b) log3 81
C)log25 125 d) logx (x+20)=2
a) log2 32 b) log3 81
C)log25 125 d) logx (x+20)=2
Passo 1
Beleza, vamos resolver esses logaritmos que você mandou! O exercício pede para calcular quatro logaritmos diferentes, usando diferentes bases e até resolver uma equação logarítmica. Para isso, vamos precisar entender o que é um logaritmo e como ele funciona. Basicamente, um logaritmo responde a pergunta: “A que potência eu preciso elevar a base para chegar a determinado número?”
Passo 2
Vamos começar com o item a) $ \log_2 32 $.
Aqui, estamos procurando o expoente ao qual devemos elevar o número 2 para obter 32. Ou seja, queremos encontrar $ x $ tal que:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos para o item b) $ \log_3 81 $.
Estamos procurando o expoente para a base 3 que resulta em 81. Ou seja:
Sabemos que:
Então:
Passo 4
Vamos resolver o item c) $ \log_{25} 125 $.
Aqui, buscamos o expoente para a base 25 que resulta em 125:
Primeiro, vamos reescrever 25 e 125 com a mesma base, se possível. Sabemos que:
Substituindo na equação:
Como as bases são iguais, os expoentes devem ser iguais:
Portanto:
Passo 5
Por fim, vamos resolver o item d) $ \log_x (x + 20) = 2 $.
Aqui, precisamos encontrar o valor de $ x $ que satisfaz a equação logarítmica. Vamos traduzir o logaritmo para sua forma exponencial:
Agora, vamos rearranjar a equação para formar uma equação quadrática:
Resolvendo essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
No entanto, como o logaritmo só está definido para bases positivas diferentes de 1 e para argumentos positivos, $ x = -4 $ não é uma solução válida. Portanto:
Resposta
a) $ \log_2 32 = 5 $
b) $ \log_3 81 = 4 $
c) $ \log_{25} 125 = \frac{3}{2} $
d) $ x = 5 $
b) $ \log_3 81 = 4 $
c) $ \log_{25} 125 = \frac{3}{2} $
d) $ x = 5 $