Simplifique as expressões. a) n!/(n-1)!
b) (n+2)!/(n+3)!
c) (n+4)!/(n+2)!+(n+3)!
d) (n-1)!+n!/(n+1)!

Passo 1

E aí! Vamos simplificar essas expressões que envolvem fatoriais. Fatorial é aquele símbolo “!” que a gente usa para multiplicar um número inteiro positivo por todos os anteriores até 1. Por exemplo, 5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120. Para resolver essas expressões, vamos usar as propriedades dos fatoriais para simplificar cada termo.

Passo 2

a) n!(n-1)!

Primeiro, vamos lembrar que n! = n times (n-1)!. Então, substituindo na expressão:
n!(n-1)! = n times (n-1)!(n-1)! = n
Tudo cancela, sobrando apenas n.

Passo 3

b) (n+2)!(n+3)!

Vamos expandir os fatoriais:
(n+3)! = (n+3) times (n+2)!
Substituindo na expressão:
(n+2)!(n+3)! = (n+2)!(n+3) times (n+2)! = 1n+3

Passo 4

c) (n+4)!(n+2)! + (n+3)!

Primeiro, simplificamos (n+4)!(n+2)!:
(n+4)!(n+2)! = (n+4) times (n+3) times (n+2)! div (n+2)! = (n+4)(n+3)
Então, somamos com (n+3)!:
Mas (n+3)! = (n+3) times (n+2)!. Não há uma simplificação direta, então a expressão final fica:
(n+4)(n+3) + (n+3)!

Passo 5

d) (n-1)! + n!(n+1)!

Primeiro, simplificamos o numerador:
(n-1)! + n! = (n-1)! + n times (n-1)! = (n-1)! (1 + n)
Agora, a expressão fica:
(n-1)! (n + 1)(n+1)!
Sabendo que (n+1)! = (n+1) times n!, e n! = n times (n-1)!, substituímos:
(n-1)! (n + 1)(n+1) times n times (n-1)! = 1n

Resposta

a) n
b) 1n+3
c) (n+4)(n+3) + (n+3)!
d) 1n

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