Determine a área do triangulo ABC nos casos A) a(1,-1) B) (2,1) C c(2,2) B) a(3,4) b(-2,3) c(1,1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a área de dois triângulos diferentes, cada um com três pontos dados. O conteúdo que vamos usar aqui é a geometria analítica, especificamente a fórmula da área de um triângulo usando as coordenadas dos seus vértices. Para isso, vamos precisar das coordenadas dos pontos A, B e C de cada triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual fórmula vamos usar. A área de um triângulo com vértices nas coordenadas $ A(x_A, y_A) $, $ B(x_B, y_B) $ e $ C(x_C, y_C) $ pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
Essa fórmula basicamente calcula o determinante de uma matriz formada pelas coordenadas dos pontos e divide por 2, garantindo que a área seja sempre positiva.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula no primeiro caso:
Caso A:
- Ponto A: $ (1, -1) $
- Ponto B: $ (2, 1) $
- Ponto C: $ (2, 2) $
Substituindo na fórmula:
Vamos resolver passo a passo:
- Calcular
(2, 1) - Calcular
(2, 2) - Calcular
ÁreaA = | 1(1 - 2) + 2(2 - (-1)) + 2(-1 - 1)2 | - Somar esses valores:
1(1 - 2) = 1(-1) = -1 - Dividir por 2:
2(2 - (-1)) = 2(3) = 6 - Aplicar o valor absoluto:
2(-1 - 1) = 2(-2) = -4
Então, a área do triângulo no caso A é 0,5 unidades de área.
Passo 4
Agora, vamos para o segundo caso:
Caso B:
- Ponto A: $ (3, 4) $
- Ponto B: $ (-2, 3) $
- Ponto C: $ (1, 1) $
Substituindo na fórmula:
Resolvendo passo a passo:
- Calcular
(-2, 3) - Calcular
(1, 1) - Calcular
ÁreaB = | 3(3 - 1) + (-2)(1 - 4) + 1(4 - 3)2 | - Somar esses valores:
3(3 - 1) = 3(2) = 6 - Dividir por 2:
-2(1 - 4) = -2(-3) = 6 - Aplicar o valor absoluto:
1(4 - 3) = 1(1) = 1
Então, a área do triângulo no caso B é 6,5 unidades de área.
Resposta
A área do triângulo ABC é:
- Caso A:
unidades de área.0,5 - Caso B:
unidades de área.6,5