Determine a área do triangulo ABC nos casos A) a(1,-1) B) (2,1) C c(2,2) B) a(3,4) b(-2,3) c(1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a área de dois triângulos diferentes, cada um com três pontos dados. O conteúdo que vamos usar aqui é a geometria analítica, especificamente a fórmula da área de um triângulo usando as coordenadas dos seus vértices. Para isso, vamos precisar das coordenadas dos pontos A, B e C de cada triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual fórmula vamos usar. A área de um triângulo com vértices nas coordenadas $ A(x_A, y_A) $, $ B(x_B, y_B) $ e $ C(x_C, y_C) $ pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
A(xA, yA) Á
Essa fórmula basicamente calcula o determinante de uma matriz formada pelas coordenadas dos pontos e divide por 2, garantindo que a área seja sempre positiva.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula no primeiro caso:
Caso A:
  • Ponto A: $ (1, -1) $
  • Ponto B: $ (2, 1) $
  • Ponto C: $ (2, 2) $
Substituindo na fórmula:
(1, -1) Á
Vamos resolver passo a passo:
  1. Calcular (2, 1)
  2. Calcular (2, 2)
  3. Calcular ÁreaA = | 1(1 - 2) + 2(2 - (-1)) + 2(-1 - 1)2 |
  4. Somar esses valores: 1(1 - 2) = 1(-1) = -1
  5. Dividir por 2: 2(2 - (-1)) = 2(3) = 6
  6. Aplicar o valor absoluto: 2(-1 - 1) = 2(-2) = -4
Então, a área do triângulo no caso A é 0,5 unidades de área.

Passo 4

Agora, vamos para o segundo caso:
Caso B:
  • Ponto A: $ (3, 4) $
  • Ponto B: $ (-2, 3) $
  • Ponto C: $ (1, 1) $
Substituindo na fórmula:
(3, 4) Á
Resolvendo passo a passo:
  1. Calcular (-2, 3)
  2. Calcular (1, 1)
  3. Calcular ÁreaB = | 3(3 - 1) + (-2)(1 - 4) + 1(4 - 3)2 |
  4. Somar esses valores: 3(3 - 1) = 3(2) = 6
  5. Dividir por 2: -2(1 - 4) = -2(-3) = 6
  6. Aplicar o valor absoluto: 1(4 - 3) = 1(1) = 1
Então, a área do triângulo no caso B é 6,5 unidades de área.

Resposta

A área do triângulo ABC é:
  • Caso A: 0,5 unidades de área.
  • Caso B: 6,5 unidades de área.

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