Calcule as seguintes primitivas. Justifique seus calculas integral tsen x+cos x d x (2,5 pontos )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a primitiva (ou integral) da função em relação a . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de como integrar funções que têm combinações de funções trigonométricas no denominador. Vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador . Para facilitar a integração, vamos tentar reescrever essa expressão de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Sabemos que pode ser expressa usando uma identidade trigonométrica que envolve um único seno ou cosseno com um deslocamento de fase.
Podemos fatorar da seguinte maneira:
Lembrando que , podemos reescrever:
Assim, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, a integral que queremos resolver é:
Sabemos que a integral de integral tsen x + cos x dx = traiz2 integral csc ( x + pi4 ) dx em relação a integral csc u , du = ln | tan u2 | + C é , onde é a constante de integração. Mas para simplificar, vamos usar outra forma da integral de :

Passo 4

Aplicando essa fórmula à nossa integral, onde integral csc ( x + pi4 ) dx = ln | tan ( x + pi42 ) | + C , temos:
traiz2 ln | tan ( x + pi42 ) | + C
Multiplicando pela constante , obtemos:

Resposta

A primitiva da função dada é:
traiz2 ln | tan ( x + pi42 ) | + C
Onde é a constante de integração.

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