Calcule as seguintes primitivas. Justifique seus calculas integral x+3(x+2)^2 cdot(x+x+1)^2 d x (2,5 ponto2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a primitiva da função . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente o método de frações parciais. Vamos precisar decompor a fração em termos mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x+3(x+2)^2 cdot (2x+1)^2 = Ax+2 + B(x+2)^2 + C2x+1 + D(2x+1)^2 em frações parciais. Assumimos que ela pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x + 3 = A(x+2)(2x+1)^2 + B(2x+1)^2 + C(x+2)^2(2x+1) + D(x+2)^2 para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de -2 + 3 = B(2*(-2)+1)^2 Rightarrow 1 = B(-4 + 1)^2 Rightarrow 1 = 9B Rightarrow B = 19 , -12 + 3 = D(-12+2)^2 Rightarrow 52 = D(32)^2 Rightarrow 52 = 9D4 Rightarrow D = 109 , e substituindo valores estratégicos para :
  1. Para :
  2. Para :

Passo 5

Para encontrar 0 + 3 = A(0+2)(2*0+1)^2 + B(2*0+1)^2 + C(0+2)^2(2*0+1) + D(0+2)^2 e 3 = 2A(1) + 19(1) + 4C(1) + 109(4) , escolhemos outro valor para 3 = 2A + 19 + 4C + 409 , por exemplo, 2A + 4C = 3 - 419 = -149 :
A + 2C = -79
1 + 3 = A(1+2)(2*1+1)^2 + B(2*1+1)^2 + C(1+2)^2(2*1+1) + D(1+2)^2
4 = 27A + 9B + 27C + 9D
4 = 27A + 1 + 27C + 10
27A + 27C = -7
Escolhemos A + C = -727 para obter outra equação:
A + 2C = -79
A + C = -727
C = -1427
A = 727
Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo as equações:

Passo 6

Agora que temos todos os valores:
A = 727, B = 19, C = -1427, D = 109
Substituímos de volta na decomposição inicial:
x+3(x+2)^2 cdot (2x+1)^2 = 727x+2 + 19(x+2)^2 + -14272x+1 + 109(2x+1)^2
Simplificando:
727cdot1x+2 + 19cdot1(x+2)^2 - 1427cdot12x+1 + 109cdot1(2x+1)^2

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 727cdot1x+2 , dx = 727 ln|x+2|
integral 19cdot1(x+2)^2 , dx = 19 cdot (-1x+2)
integral -1427cdot12x+1 , dx = -1427 cdot 12 ln|2x+1|
integral 109cdot1(2x+1)^2 , dx = 109 cdot (-12) cdot 12x+1

Passo 8

Juntando todas as integrais:
727 ln|x+2| - 19(x+2) - 727 ln|2x+1| - 59(2x+1) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A primitiva da função é:
727 ln|x+2| - 19(x+2) - 727 ln|2x+1| - 59(2x+1) + C

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